Analís numbéricu

El analís numbéricu o cálculu numbéricu ye la caña de les matemátiques qu'encargada de diseñar algoritmos para, al traviés de númberos y regles matemátiques simples, asemeyar procesos matemáticos más complexos aplicaos a procesos del mundu real.

L'analís numbéricu cobra especial importancia cola llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles pa cálculos matemáticos desaxeradamente complexos, pero n'última instancia operen con númberos binarios y operaciones matemátiques simples.

Dende esti puntu de vista, l'analís numbéricu va apurrir tol andamiaxe necesariu pa llevar a cabu toos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles d'espresase algorítmicamente, basándose n'algoritmos que dexen el so simulación o cálculu en procesos más senciellos emplegando númberos.

Definíu l'error, xuntu col error almitible, pasamos al conceutu d'estabilidá de los algoritmos. Munches de les operaciones matemátiques pueden llevase alantre al traviés de la xeneración d'una serie de númberos que de la mesma alimenten de nuevu l'algoritmu (feedback). Esto apurre un poder de cálculu y refinamientu perimportante a la máquina qu'a midida que va completando un ciclu va llegando a la solución. El problema asocede en determinar hasta cuándo tendrá de siguir col ciclu, o si tamos alloñar de la solución del problema.

Finalmente, otru conceutu paralelu al analís numbéricu ye'l de la representación, tantu de los númberos como d'otros conceutos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por casu, pa la representación n'ordenadores de númberos reales, emplégase'l conceutu de coma flotante que falta enforma del emplegáu pola matemática convencional.

Polo xeneral, estos métodos aplíquense cuando se precisa un valor numbéricu como solución a un problema matemáticu, y los procedimientos "esactos" o "analíticos" (manipulaciones alxebraiques, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Por cuenta de ello, son procedimientos d'usu frecuente por físicos y inxenieros, y que'l so desenvolvimientu ver favorecíu pola necesidá d'éstos de llograr soluciones, anque la precisión nun seya completa. Tien De recordase que la física esperimental, por casu, nunca refundia valores esactos sinón intervalos que engloban la gran mayoría de resultaos esperimentales llograos, yá que nun ye habitual que dos midíes del mesmu fenómenu refundien valores esactamente iguales.

Problemes

Los problemes d'esta disciplina pueden estremase en dos grupos fundamentales:

Problemes de dimensión finita: aquellos que la so respuesta son un conxuntu finito de númberos, como les ecuaciones alxebraiques, los determinantes, los problemes de valores propios, etc.

Problemes de dimensión infinita: problemes en que la so solución o planteamientu intervienen elementos descritos por una cantidá infinita de númberos, como integración y derivación numbériques, cálculu d'ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a la so naturaleza o motivación

Coles mesmes, esiste una subclasificación d'estos dos grandes estremaos en tres categoríes de problemes, atendiendo a la so naturaleza o motivación pal emplegu del cálculu numbéricu:

Problemes de tal complexidá que nun tener solución analítica.
Problemes nos cualos esiste una solución analítica, pero ésta, por complexidá o otros motivos, nun puede esplotase de forma senciella na práutica.
Problemes pa los cualos esisten métodos senciellos pero que, pa elementos que s'empleguen na práutica, riquen una cantidá de cálculos escesiva; mayor que la necesaria pa un métodu numbéricu.

Árees d'estudiu

L'analís numbéricu estrémase en distintes disciplines acordies col problema que resolver.

Cálculu de los valores d'una función

Unu de los problemes más senciellos ye la evaluación d'una función nun puntu dáu. Pa polinomios, unu de los métodos más utilizaos ye'l algoritmu de Horner, yá que amenorga'l númberu d'operaciones a realizar. Polo xeneral, ye importante envalorar y controlar los errores d'arredondio que se producen pol usu de l'aritmética de puntu flotante.

La extrapolación ye bien similar a la interpolación, sacante qu'agora queremos atopar el valor de la función desconocida nun puntu que nun ta entendíu ente los puntos daos.

La regresión ye tamién similar, pero tien en cuenta que los datos son imprecisos. Daos dellos puntos, y una midida del valor de la función nos mesmos (con un error por cuenta de la midida), queremos determinar la función desconocida. El métodu de los mínimos cuadraos ye una forma popular de consiguilo.

Resolvimientu d'ecuaciones y sistemes d'ecuaciones

Otru problema fundamental ye calcular la solución d'una ecuación o sistema d'ecuaciones dáu. Estrémense dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema d'ecuaciones ye o non llineal. Por casu, la ecuación $2x+5=3$ ye llineal ente que la ecuación de segundu grau $2x^{2}+5=3$ nun lo ye.

Enforma esfuerzu púnxose nel desenvolvimientu de métodos pal resolvimientu de sistemes d'ecuaciones llineales. Métodos directos, i.y., métodos qu'utilicen dalguna factorización de la matriz son el métodu de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky pa matrices simétriques (o hermíticas) definíes positives, y la descomposición QR. Métodos iterativos como'l métodu de Jacobi, el métodu de Gauss-Seidel, el métodu de los aproximamientos socesivos y el métodu del gradiente conxugáu utilícense frecuentemente pa grandes sistemes.

Na resolvimientu numbéricu d'ecuaciones non llineales dalgunos de los métodos más conocíos son los métodos de biseición, de la secante y de la falsa posición. Si la función ye amás derivable y la derivada conozse, el métodu de Newton ye bien utilizáu. Esti métodu ye un métodu de iteración de puntu fixu. La linealización ye otra técnica pa resolver ecuaciones non llineales.

Les ecuaciones alxebraiques polinomiales tienen una gran cantidá de métodos numbéricos pa numberar :

Métodu de Gräeffe (o métodu de Lobachevsky o de Lobachevsky-Dandelin-Gräeffe o del cuadráu de los raigaños)

Métodu de Laguerre

Métodu de Bairstow (o métodu de Lin-Bairstow)

Métodu de Bernoulli

Métodu de Horner

Métodu de Householder

Métodu de Newton-Raphson especializáu pa polinomios

Métodu de Richmond especializáu pa polinomios

Métodu modificáu de Richmond

Métodu de Newton-Horner

Métodu de Richomnd-Horner

Métodu de Birge-Biète

Métodu de Jenkins-Traub

Descomposición espectral y en valores singulares

Bastantes problemes importantes pueden ser espresaos en términos de descomposición espectral (el cálculu de los vectores y valores propios d'una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por casu, el analís de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

Optimización

Los problemes de optimización busquen el puntu pal cual una función dada algama'l so máximu o mínimu. De cutiu, el puntu tamién satisfai cierta restricción.

Exemplos de, problemes de optimización son la programación llineal en que tanto la función oxetivu como les restricciones son llineales. Un métodu famosu de programación llineal ye'l métodu simplex.

El métodu de los multiplicadores de Lagrange puede usase p'amenorgar los problemes de optimización con restricciones a problemes ensin restricciones.

Evaluación d'integrales

La integración numbérica, tamién conocida como cuadradura numbérica, busca calcular el valor d'una integral definida. Métodos populares utilicen dalguna de les fórmules de Newton–Cotes (como la regla del rectángulu o la regla de Simpson) o de cuadradura gaussiana. Estos métodos basar nuna estratexa de "estrema y vas vencer", estremando l'intervalu d'integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de les integrales en cada subintervalo, pudiéndose ameyorar darréu'l valor de la integral llográu por aciu el métodu de Romberg. Pal cálculu de integrales múltiples estos métodos riquen demasiáu esfuerzu computacional, siendo útil el métodu de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales

L'analís numbéricu tamién puede calcular soluciones averaes de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinaries, bien ecuaciones en derivaes parciales. Los métodos utilizaos suelen basase en discretizar la ecuación correspondiente. Ye útil ver la derivación numbérica.

Pal resolvimientu d'ecuaciones diferenciales ordinaries los métodos más utilizaos son el métodu de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Les ecuaciones en derivaes parciales resuélvense primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede faese por aciu un métodu de los elementos finitos.

Otres temes d'analís numbéricu

Referencies

Nick Trefethen (1992), The definition of numerical analysis, SIAM News, payares.

Enllaces esternos

N'español

N'inglés