„Planck-Konstante“ – Versionsunterschied

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Die '''Planck-Konstante''', oder das '''Plancksche Wirkungsquantum''' <math>h</math>, ist eine fundamentale [[Physikalische Konstante|Naturkonstante]] in der [[Quantenphysik]]. Sie ist das Verhältnis von [[Energie]] (<math>E</math>) und [[Frequenz]] (<math>f</math>) eines [[Photon]]s, entsprechend der Formel <math>E = h \cdot f</math>. Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines [[Teilchen]]s oder [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] und der Frequenz seiner [[Quantenmechanik#Stationäre Zustände|quantenmechanischen Phase]].

Die Entdeckung der Planck-Konstante durch [[Max Planck]] entdeckte diese Konstante in den Jahren 1899<ref name="Planck1899" /> und 1900<ref name="Bonitz" /><ref name="Sturm" /> begründeteund diegab [[Quantenphysik]].ihr Dieden Planck-KonstanteNamen verknüpft„elementares EigenschaftenWirkungsquantum“, dieweil vorhersie inbei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und die dergleiche [[KlassischeDimension Physik(Größensystem)|klassischen PhysikDimension]] entwederwie nur Teilchendie oderphysikalische nurGröße [[WelleWirkung (Physik)|Wirkung]]n zugeschrieben wurdenhat.<ref Damitname="Planck1906" ist/><ref siename="Planck1943" die/> BasisAußerhalb des [[Welle-Teilchen-Dualismus]]deutschen derSprachraums [[Moderneist Physik|modernendie Bezeichnung Physik]]„Wirkungsquantum“ nicht üblich.

=== {{Anker|Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum|Dirac-Konstante}} Reduzierte Planck-Konstante ===

Die Messwerte zeigen im hochfrequenten (d.&nbsp;h. kurzwelligen) Bereich des Spektrums eine charakteristische Abnahme der Intensität zu höheren Frequenzen hin. Diese lässt sich gut durch einen Exponentialfaktor <math>\mathrm e^{-af/T}</math> wiedergeben (<math>f</math> Frequenz, <math>T</math> Temperatur, <math>a</math> ein fester Parameter, siehe [[Wiensches Strahlungsgesetz]]), diese Formel aber widerspricht jeder theoretischen Herleitung aus der klassischen Physik. Planck konnte jedoch eine neuartige theoretische Herleitung angeben.<ref name="Planck1899bPlanck1899" /> Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den Wänden eines Hohlraums und den elektromagnetischen Wellen in seinem Innern. Die Wände modellierte er als Ansammlung emittierender und absorbierender Oszillatoren und wählte für deren [[Entropie]] eine neuartige geeignete Formel mit zwei freien Parametern <math>a</math> und <math>b</math>. Diesen Parametern kam aufgrund der allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zu. <math>a</math> erwies sich als der oben im Wienschen Strahlungsgesetz genannte Parameter, <math>b</math> als Produkt von <math>a</math> mit der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_{\mathrm{B}}</math>. Für <math>b</math>, das später in <math>h</math> umbenannt wurde, gab Planck den Wert <math>b=6{,}885\cdot10^{-27}\,\mathrm{erg\,s}</math> an, der nur um 4 % vom heutigen Wert für <math>h</math> abweicht. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von ''universellen'' Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die [[Planck-Einheiten]].

Neue Messungen widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz und damit auch der von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten, dass im niederfrequenten (d.&nbsp;h. langwelligen, infraroten) Teil der Wärmestrahlung die Intensität zu größeren Frequenzen hin zunächst ''zunimmt,'' bevor sie dem Wienschen Strahlungsgesetz gemäß wieder abnimmt. Diese Zunahme entsprach gut dem [[Rayleigh-Jeans-Gesetz]], wie es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem [[Gleichverteilungssatz]] der statistischen Mechanik abgeleitet worden war. Allerdings sagte dieses Gesetz auch eine unbegrenzte Zunahme der Intensität bei weiter steigender Frequenz voraus, was als [[Ultraviolettkatastrophe]] bezeichnet wurde und den älteren Messungen im hochfrequenten Teil des Spektrums (s.&nbsp;o.) widersprach. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst danach neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als [[Plancksches Strahlungsgesetz]] bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor <math>\mathrm e^{-\tfrac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}} T}}</math> interpretierte und darin für <math>\Delta E</math> die je nach Frequenz <math>f</math> verschiedenen diskreten Energiestufen <math>\Delta E = h f</math> ansetzte.<ref> Verschiedentlich findet sich die unbelegte Aussage, Planck habe Denden Buchstaben <math>h</math> nahm er von ''Hilfsgröße.'' abgeleitet.</ref> Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei <math>h</math> gerade um das erwähnte Produkt <math>b=a k_{\mathrm{B}}</math> handelt.<ref name="Planck1900" />

Damit schrieb Planck den Oszillatoren die neue Eigenschaft zu, dass sie ihre Energie nur auf ''[[diskret#In Wissenschaft und Technik|diskrete]]'' Weise in endlichen Schritten der Größe <math>\Delta E = h f</math> ändern könnten. Er führte damit erstmals eine ''Quantelung'' einer scheinbar kontinuierlich variierbaren Größe ein, eine Vorstellung, die der Physik damals, als auch die ''Atomhypothese'' teilweise noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd war.<ref name="Planck1920">“[…] here was something entirely new, never before heard of, which seemed called upon to basically revise all our physical thinking, built as this was, since the establishment of the infinitesimal calculus by Leibniz and Newton, upon the acceptance of the continuity of all causative connections.”<br />„[…] hier war etwas völlig Neues, noch nie vorher Gehörtes, das berufen zu sein schien, unser ganzes physikalisches Denken, welches seit der Einführung der Infinitesimalrechnung durch Leibniz und Newton auf der Annahme der Kontinuität aller kausalen Zusammenhänge beruht, grundlegend zu revidieren.“ Max Planck, [https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1918/planck/lecture/ Nobelpreisvortrag], 2. Juni 1920</ref> Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der [[Nobelpreis für Physik|Nobelpreis]] zuerkannt.

Viele Gesetze der Thermodynamik, z.&nbsp;B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten zum Ende des 19. Jahrhunderts durch die [[Statistische Mechanik]] (vor allem durch [[Ludwig Boltzmann]] und [[Josiah Willard Gibbs]]) eine mechanische Deutung erfahren. Die statistische Mechanik gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome oder Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge ''aller'' möglichen Zustände ''aller'' Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder ''[[Phasenraum]].'' Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch ''[[Phasenraumzelle]]'' genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle in der Gleichung nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der [[Infinitesimalrechnung]]), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z.&nbsp;B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z.&nbsp;B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante ''[[Ideales Gas#Entropiekonstante|Entropiekonstante]].'' [[Otto Sackur]] bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine ''bestimmte'' Größe geben muss, damit diese Entropiekonstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe <math>h</math> haben. Seiner Veröffentlichung<ref name="Sackur" /> gab er den Titel ''Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums'' und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheiten sollte, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt.<ref name="Planck1913" /> Dies war der Fall.

In der 1925 von [[Werner Heisenberg]] und [[Erwin Schrödinger]] begründeten [[Quantenmechanik]] ergibt sich die gleiche Quantelung des Bahndrehimpulses, indem dieser durch den Operator <math>\hat{ \vec l} = \hat {\vec r }\times \hat {\vec p}</math> dargestellt wird. Allerdings hatist derdie BetragLänge des Drehimpulsvektors nun die Länge <math>|\vec l| = \sqrt{l(l+1)}\; \hbar</math>. Außerdem gehören im Wasserstoffatom zu den Elektronenzuständen mit Hauptquantenzahl <math>n</math> nach quantenmechanischer Berechnung die Bahndrehimpulsquantenzahlen <math>l = 0, 1, \dotsc, n-1</math>, diese sind also um 1 kleiner als im Bohr-Sommerfeldschen Modell. Dies stimmt mit allen Beobachtungen überein.

<ref name="Einstein1905">{{Literatur |Autor=Albert Einstein: ''|Titel=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt.'' |Sammelwerk=Annalen der Physik, |Band=17 (|Datum=1905), |Seiten=S.&nbsp;133 und S.&nbsp;143. (Online-Dokument: {{Webarchiv|urlDOI=http://www10.zbp.univie.ac.at1002/dokumente/einstein1andp.pdf |wayback=20140822215426 |text=PDF |archiv-bot=2022-12-28 11:09:10 InternetArchiveBot 19053220607}}).</ref>

Max Planck (beachte: a&nbsp;= Boltzmannkonstante (Temp.), b&nbsp;= Wirkumsquantum, f&nbsp;= Gravitationskonstante, c&nbsp;= Lichtgeschwindigkeit): [https://bibliothek.bbaw.de/digitalisierte-sammlungen/akademieschriften/ansicht-akademieschriften?tx_bbaw_academicpublicationshow%5Baction%5D=show&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bcontroller%5D=AcademicPublication%5CVolume&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bpage%5D=493&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bvolume%5D=259&cHash=c7602819d499de1b47d8c876f6222018 ''Über irreversible Strahlungsvorgänge.''] Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899&nbsp;- Erster Halbband (Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899). Seite&nbsp;479–480440–480.<br />Planck verwendet hier zwei universelle Konstanten „a“ und „b“. Die Konstante ''b'' wird heute als Planck-Konstante ''h'' bezeichnet, und ''a'' ist der Quotient aus Planck-Konstante und Boltzmann-Konstante (''h/k''_B). Auf Seite 479f führt Planck aus, dass ''h'' zusammen mit den Naturkonstanten ''c'' und ''G'' Grundlage für ein universelles Einheitensystem sein kann (siehe [[Planck-Einheiten]]).

Max Planck: ''Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung.'' Verlag Joh. Amb. Barth, Leipzig 1906, [https://books.google.de/books?id=AhYXAAAAYAAJ&pg=PA154 S.&nbsp;154].