Isomorfismo de grupos

En teoría de grupos, se dice que dos grupos son isomorfos o isomórficos si existe un isomorfismo entre ellos, es decir, un homomorfismo de grupos biyectivo. Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos tienen la misma estructura y mismas propiedades y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto subyacente, sus elementos y la operación.[1]

El isomorfismo de grupos es una relación de equivalencia, y por tanto permite clasificar los grupos «salvo isomorfismo». Cuando dos grupos son isomorfos, se dice que pertenecen a la misma clase de isomorfía o que tienen el mismo tipo de isomorfismo.[2]

Definición

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Una aplicación   entre los grupos   y   es un isomorfismo de grupos si se cumplen las dos condiciones siguientes:[2]

  1.   es un homomorfismo de grupos: para todo par de elementos   se cumple que  .
  2.   es una biyección: hace corresponder de manera biunívoca los elementos de   con los de  .

En tal situación se dice que los grupos   y   son isomorfos y se denota por  .

Ejemplos

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Equivalencia de grupos isomorfos

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Los isomorfismos de grupos permiten describir una relación matemática, que se puede expresar como: «el grupo G es isomorfo al grupo H» si existe un isomorfismo  . Esta relación es una relación de equivalencia:

  • es reflexiva: Todo grupo G es isomorfo a sí mismo bajo la función identidad  . Esta función es obviamente una biyección, y es un homomorfismo, pues
 .
  • es simétrica: si G es isomorfo a H entonces H es isomorfo a G. Dado un isomorfismo  , la aplicación inversa   es también un isomorfismo.[3]
Demostración

Dados y1, y2   cualesquiera, existen x1, x2   tales que

 ,  

por ser   biyectiva. Por tanto

 
  • es transitiva: si G es isomorfo a H y H es isomorfo a K entonces G es isomorfo a K. Sean   y   tres grupos, y sean   y   isomorfismos. Entonces la composición   es también un isomorfismo.
Demostración

Dados x, y   cualesquiera, entonces

 

luego   es un homomorfismo. Como   y   son aplicaciones biyectivas entonces su composición es biyectiva. Por tanto   es un isomorfismo.

Teoremas de isomorfismo de grupos

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Existen tres teoremas, formulados por Emmy Noether, que relacionan cocientes, subgrupos normales y homomorfismos, y que tienen análogos para la mayoría de estructuras algebraicas.[4]

Sea   un homomorfismo de grupos, con núcleo  . Entonces  .

  • Segundo teorema:

Si   y   son subgrupos de un grupo  , con   normal en  , entonces   es un subgrupo de  ,   es normal en   y  .

  • Tercer teorema:

Si   y   son subgrupos normales de un grupo  , con  , entonces  .

Grupos de automorfismos

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En general, un homomorfismo es una función entre dos grupos distintos. Sin embargo, dado un grupo G es posible definir endomorfismos: funciones de la forma   que son homomorfismos de G en sí mismo. No todos son biyectivos, pero cuando lo son decimos que   es un automorfismo.

El conjunto de automorfismos de un grupo G, junto con la operación de composición de funciones, tiene estructura de grupo, que se denomina grupo de automorfismos de G, y se denota Aut(G). Entre estos hay un subgrupo de particular importancia formado por los automorfismos interiores de G, que son aquellos definidos por la conjugación respecto de un elemento del grupo. Este subgrupo, que es normal, se denota por Inn(G). El cociente Aut(G)/Inn(G) se denomina grupo de automorfismos exteriores, y se denota por Out(G).

Referencias

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  1. «Group Isomorphism Theorems | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (en inglés estadounidense). Consultado el 10 de junio de 2019. 
  2. a b Dummit y Foote, 2004, p. 37.
  3. Rivero, Francisco. A L G E B R A: Estructuras Algebraicas. Consultado el 10 de junio de 2019. 
  4. Rotman, 1999, «The Isomorphism Theorems».

Bibliografía

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  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer. 

Enlaces externos

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