Helmholtzi võrrand

Mittehomogeense Helmholtzi võrrandi $(\nabla ^{2}+k^{2})A=-f$lahendi reaalosa ehk amplituudi A kujutus.

Helmholtzi võrrand on Hermann von Helmholtzi järgi nimetatud lineaarne osatuletistega diferentsiaalvõrrand kujul:

$(\nabla ^{2}+k^{2})A=0,$

kus $\nabla ^{2}$ on Laplace'i operaator, $k$ on lainearv ja $A$ on amplituud.

Võrrandi päritolu ja kasutus

Helmholtzi võrrand kerkib esile aja- ja ruumimuutujaid sisaldavate osatuletistega diferentsiaalvõrranditega kirjeldatavate füüsikaliste probleemide lahendamisel. Näiteks esitab Helmholtzi võrrand lainevõrrandi ajast sõltumatul kujul võimaldades lihtsustada probleemi analüüsi keskendudes vaid mõne nähtuse ruumimuutlikkusele.

Näiteks vaadeldes lainevõrrandit kujul:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$

Eeldades, et lahendis $u(\mathbf {r} ,t)$on aja ja ruumimuutujud eraldatavad: $u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$ Saame asendades algsesse lainevõrrandisse muutujad eraldada:

${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {d^{2}T}{dt^{2}}}.$

Muutujate eraldamise võtte kohaselt leidub antud harilikule diferentsiaalvõrrandile lahend siis ja ainult siis, kui võrrandi mõlemad pooled võrduvad konstandiga. Ehk

${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}$

ja

${\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {d^{2}T}{dt^{2}}}=-k^{2},$

kus konstandiks on valitud $-k^{2}$. Asendades viimase eraldatud muutujatega harilikku diferentsiaalvõrrandisse ja korrutades A-ga saame Helmholtzi võrrandi:

$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$

Oma seotuse tõttu lainevõrrandiga kerkib Helmholtzi võrrand esile erinevates paljudes erinevates füüsika valdkondades nagu näiteks elektromagnetism, seismoloogia ja akustika.

Vaata ka

• Laplace'i operaator