Campo di spezzamento: differenze tra le versioni
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In [[algebra]],
:<math> p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_n) </math>▼
== Definizione ==
Sia <math>K</math> un [[campo (matematica)|campo]] e <math>p(x)</math> un [[polinomio]] a coefficienti in <math>K</math>. Se <math>p(x)</math> è costante, un suo campo di spezzamento è <math>K</math>. Sia ora <math>p(x)</math> non costante di grado <math>n</math>. Un'[[estensione di campi|estensione]] <math>L</math> di <math>K</math> è un campo di spezzamento di <math>p(x)</math> se:
*esistono <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L</math> (non necessariamente distinti) ed <math>u \in K \setminus \{0\}</math> tali che
*l'estensione generata da <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> su <math>K</math> è uguale ad <math>L</math>.
La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se <math>L_1</math> è un'estensione intermedia tra <math>K</math> ed <math>L</math> (ossia se <math>K\subseteq L_1\subsetneq L</math>), allora esiste <math>i \in \{1,\ldots,n\}</math> tale che <math>\alpha_i\notin L_1</math>; in questo senso, <math>L</math> è la più piccola estensione di <math>K</math> contenente tutte le radici (non necessariamente distinte) <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> di <math>p(x)</math>.
== Costruzione ==
Se <math>p(x)</math> è un polinomio a coefficienti in <math>K</math>, è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di <math>p(x)</math> su <math>K</math>, applicando ripetutamente [[anello quoziente|quozienti]] di [[anello di polinomi|anelli di polinomi]].
Supponiamo infatti che <math>p(x)</math> si fattorizzi in <math>K[x]</math> come <math>f_1(x)\cdots f_n(x)</math>. Allora, l'anello quoziente <math>K_1[x]:=K[x]/(f_1(x))</math> è un campo (poiché <math>(f_1(x))</math> è un [[ideale massimale]]) che contiene <math>K</math> e una radice di <math>f_1(x)</math>. La fattorizzazione di <math>p(x)</math> in <math>K_1[x]</math> comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di <math>f_1(x)</math>).
Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori <math>f_2(x),\ldots,f_n(x)</math>) e termina dal momento che il [[grado di un polinomio|grado]] di <math>p(x)</math> è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di <math>p(x)</math> su <math>K</math>.
Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del [[lemma di Zorn]] se il campo di partenza non è [[insieme numerabile|numerabile]]) si ottiene la costruzione di una [[chiusura algebrica]] di <math>K</math>.
== Unicità ==
Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono [[isomorfismo|isomorfi]].
Se <math>F</math> è un [[campo algebricamente chiuso]] contenente <math>K</math> (ad esempio, se è la sua [[chiusura algebrica]]) allora esiste un unico campo di spezzamento di <math>p(x)</math> contenuto in <math>F</math>. Gli automorfismi di questo campo di spezzamento formano un [[gruppo (matematica)|gruppo]] che, se <math>p(x)</math> è [[polinomio separabile|separabile]] su <math>K</math>, è detto [[gruppo di Galois]] del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di <math>p(x)</math> può essere costruito.
I [[sottocampo|sottocampi]] di <math>F</math> che sono campi di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in <math>K</math> sono esattamente le estensioni [[estensione algebrica|algebriche]], [[estensione normale|normali]] e di grado finito di <math>K</math>.
Se <math>p(x)</math> è [[polinomio irriducibile|irriducibile]], tale campo è la [[chiusura normale]] del sottocampo <math>K(\alpha)</math>, dove <math>\alpha</math> è una qualsiasi radice di <math>p(x)</math>.
== Esempi ==
*
* Il campo di spezzamento di <math> x^2+1 </math> sul campo
* Il campo di spezzamento di <math> x^{p^n}
==
*{{cita libro | autore= Stefania Gabelli | titolo= Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois | editore= Springer| città= Milano| anno= 2008 | isbn= 978-88-470-0618-8}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Algebra}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria dei campi]]
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