Funzione omografica

In matematica, è chiamata funzione omografica una generica funzione di equazione (in forma normale) $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$.

Discussione

Il grafico della funzione omografica al variare dei parametri a, b, c, d. In rosso è rappresentata una retta parallela all'asse delle x $(a\cdot d=b\cdot c)$, in blu una retta con il coefficiente angolare diverso da zero (c=0), in verde un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti traslata.

• Se $c=0$ allora $y={\frac {a\cdot x}{d}}+{\frac {b}{d}}$, che è l'equazione di una retta di coefficiente angolare ${a \over d}$, che interseca l'asse delle y nel punto di ordinata ${b \over d}$.

• Se il prodotto misto tra i coefficienti $a\cdot d=b\cdot c$, allora si può sostituire $d={\frac {b\cdot c}{a}}$ e quindi, raccogliendo a fattor comune, $y={\frac {a(ax+b)}{c(ax+b)}}$, che semplificato dà $y={\frac {a}{c}}$, ovvero una retta parallela all'asse x che rappresenta l'asintoto orizzontale della funzione omografica (Allo stesso risultato si perviene sfruttando la definizione di limite, cioè $y=\lim _{x\to +\infty }{\frac {(ax+b)}{(cx+d)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(a+{\frac {b}{x}})}{x(c+{\frac {d}{x}})}}={\frac {a+0}{c+0}}={\frac {a}{c}}$ che è l'asintoto orizzontale).

• Se $c\neq 0$ e $a\cdot d\neq b\cdot c$, allora la funzione omografica rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati. In particolare, gli asintoti hanno equazione $y={\frac {a}{c}}$ e $x=-{\frac {d}{c}}$.

Iperbole traslata

Sotto la condizione $c\neq 0$ e $a\cdot d\neq b\cdot c$ è possibile dimostrare che la funzione omografica $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ è ottenuta dalla traslazione di una iperbole equilatera del tipo $f(x)={\frac {k}{x}}$ (in forma canonica $xy=k$) che ha gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

Anzitutto si svolge la divisione fra i polinomi a numeratore e a denominatore $(ax+b):(cx+d)$.

Il quoziente è $Q={\frac {a}{c}}$ e il resto è $R={\frac {bc-ad}{c}}$ e dunque si ottiene

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {R}{cx+d}}+Q={\frac {\frac {R}{c}}{x+{\frac {d}{c}}}}+Q={\frac {R'}{x+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}$.

La funzione omografica si ottiene dalla f(x) attraverso:

• una traslazione orizzontale (con origine traslata in $-{\frac {d}{c}}$) e
• una traslazione verticale di termine ${\frac {a}{c}}$

Il vettore di traslazione è dunque ${\overrightarrow {v}}\left(-{\frac {d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)$, le equazioni di traslazione sono $\left\{{\begin{matrix}x'=x-{\frac {d}{c}}\\y'=y+{\frac {a}{c}}\end{matrix}}\right.$