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In [[analisi matematica]] e in [[topologia]], un [[insieme]] è detto '''intorno''' di un punto se contiene un [[insieme aperto]] contenente il punto.<ref name=manetti>{{Cita|M. Manetti|p. 42|manetti}}</ref> |
In [[analisi matematica]] e in [[topologia]], un [[insieme]] è detto '''intorno''' di un punto se contiene un [[insieme aperto]] contenente il punto.<ref name=manetti>{{Cita|M. Manetti|p. 42|manetti}}.</ref> Un intorno di un punto <math>x</math> senza il punto <math>x</math> si dice '''intorno bucato''' o '''anulare'''. |
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Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di [[funzione continua]] e [[limite (matematica)|limite]]. Un intorno di un punto <math> |
Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di [[funzione continua]] e [[limite (matematica)|limite]]. Un intorno di un punto <math>x</math> è intuitivamente un [[insieme (matematica)|insieme]] di punti "vicini" al punto <math>x.</math> Ogni intorno individua un insieme differente di ''vicini''. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a <math>x</math> si dice che vale "per ogni intorno di <math>x</math>". |
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Il concetto di ''intorno'' è strettamente connesso al concetto di [[insieme aperto]]. |
Il concetto di ''intorno'' è strettamente connesso al concetto di [[insieme aperto]]. |
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==Spazi topologici== |
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⚫ | In un generico [[spazio topologico]] <math> (X,T)</math>, un '''intorno''' di un punto <math>x</math> è un insieme <math>V</math> che contiene almeno un [[spazio topologico|insieme aperto]] <math>U \in T</math> contenente <math>x</math>, cioè <math>x \in U \subseteq V</math><ref name=manetti/>, che è l'abbreviazione di <math>x \in U</math> e <math>U \subseteq V.</math> |
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===Intorni sferici=== |
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Nel caso di uno [[spazio metrico]] <math>(X,d)</math> si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l{{'}}'''intorno sferico''' (o '''circolare''') '''aperto''' di un punto <math>x</math> in <math>X</math> di raggio <math>r>0</math> definito come l'insieme: |
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Il concetto di ''intorno sferico'' si estende a qualsiasi [[spazio metrico]], come descritto più sotto. |
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==Spazi topologici== |
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⚫ | Un esempio è l{{'}}''intorno di raggio <math>r</math>'' quando si considera <math>X=\mathbb{R}</math>, che risulta poi essere un [[intervallo (matematica)|intervallo]] contenente <math>x</math> del tipo <math>]x-r,x+r[</math>, o <math>[x-r,x+r]</math>, ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, <math>B(x,r)</math> sia aperto o chiuso in <math>\mathbb{R}</math>. |
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:<math> x \in U \subseteq V </math> .<ref name=manetti/> |
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L'insieme V non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui ''V'' è aperto, si parla di '''intorno aperto''' e quando ''V'' è chiuso di '''intorno chiuso'''. |
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⚫ | I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto <math>x\in X</math> come ''un qualunque sottoinsieme <math>U</math> di <math>X</math> tale che esista un <math>r>0</math> in corrispondenza del quale <math>B(x,r)\subseteq U.</math>'' Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno [[spazio metrico]] derivante da uno [[spazio normato]] (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la [[metrica (matematica)|metrica]] è quella indotta dalla norma), è [[Insieme convesso|convesso]]. Sia infatti <math>(X,||\ ||)</math> uno spazio normato, <math>x\in X</math> e <math>r>0</math>. Se <math>y,z\in B(x,r)</math>, e <math>\gamma:[0,1]\rightarrow X</math> è la curva <math>\gamma(t)=(1-t)y+tz</math>, allora, posto <math>\xi =\xi(t)=\gamma(t)</math>, si ha |
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===Intorni sferici=== |
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Nel caso di uno [[spazio metrico]] <math>(X,d)</math> si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l''''intorno sferico''' (o '''circolare''') '''aperto''' di un punto <math>x</math> in <math>X</math> di raggio <math>r>0 </math> definito come l'insieme: |
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qualunque sia <math>\xi\in\gamma([0,1])</math>. Ne segue che <math>B(x,r)</math> è convesso. |
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===Base di intorni=== |
===Base di intorni=== |
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Una '''base di intorni''' (o anche '''sistema di intorni''') è un insieme di intorni di un punto fissato <math> x </math> "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto. |
Una '''base di intorni''' (o anche '''sistema di intorni''') è un insieme di intorni di un punto fissato <math> x </math> "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto. |
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Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di <math> x </math> contiene uno di questi intorni. |
Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di <math> x </math> contiene uno di questi intorni. |
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Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la [[spazio localmente connesso|connessione locale]]. |
Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la [[spazio localmente connesso|connessione locale]]. |
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==Spazio euclideo== |
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Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico [[spazio euclideo]] <math>\R^n </math> di dimensione <math>n</math>. Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di <math> x_0 </math> è sempre un insieme contenente un [[insieme aperto]] <math> U </math>, contenente a sua volta <math> x_0 </math>. In particolare: |
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==Retta reale== |
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⚫ | Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della [[Retta dei numeri reali|retta reale]]. Un '''intorno''' di un punto <math>x_0 </math> della retta reale <math>\mathbb{R}</math> è un insieme della retta che contiene un [[intervallo (matematica)|intervallo]] aperto del tipo |
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La definizione di intorno si estende anche alla [[Numero reale|retta estesa]]: un ''intorno di'' <math>+\infty </math> è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma <math> (M , +\infty) </math>, per qualche <math> M </math> reale. Analogamente un intorno di <math>-\infty </math> è un insieme contenente <math>( -\infty , M)</math>. |
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==Note== |
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==Bibliografia== |
==Bibliografia== |
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* {{cita libro | cognome= Manetti | nome= Marco | titolo= Topologia| editore= Springer| anno= 2008| |
* {{cita libro | cognome= Manetti | nome= Marco | titolo= Topologia| editore= Springer| anno= 2008|isbn= 978-88-470-0756-7|cid =manetti}} |
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*{{Cita libro | nome= Edoardo | cognome= Sernesi| titolo=Geometria 2 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1994 |città= Torino| |
*{{Cita libro | nome= Edoardo | cognome= Sernesi| titolo=Geometria 2 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1994 |città= Torino| isbn=978-88-339-5548-3| cid =serne}} |
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==Voci correlate== |
==Voci correlate== |
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*[[Intorno chimico]] |
*[[Intorno chimico]] |
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==Altri progetti== |
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{{interprogetto|wikt=intorno}} |
{{interprogetto|wikt=intorno|preposizione=sull'}} |
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== Collegamenti esterni == |
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{{Analisi matematica}} |
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{{Topologia}} |
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{{Portale|matematica}} |
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[[Categoria:Calcolo infinitesimale]] |
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[[Categoria:Topologia generale]] |
[[Categoria:Topologia generale]] |
Versione attuale delle 20:26, 2 dic 2023
In analisi matematica e in topologia, un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.[1] Un intorno di un punto senza il punto si dice intorno bucato o anulare.
Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a si dice che vale "per ogni intorno di ".
Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.
Spazi topologici
[modifica | modifica wikitesto]In un generico spazio topologico , un intorno di un punto è un insieme che contiene almeno un insieme aperto contenente , cioè [1], che è l'abbreviazione di e
L'insieme non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui sia aperto, si parla di intorno aperto, invece quando è chiuso viene definito intorno chiuso.
Intorni sferici
[modifica | modifica wikitesto]Nel caso di uno spazio metrico si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto in di raggio definito come l'insieme:
L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro e raggio (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo il simbolo nella definizione di . Se si indica con la chiusura di un insieme allora è coerente indicare con il disco chiuso di centro e raggio ). Un esempio è l'intorno di raggio quando si considera , che risulta poi essere un intervallo contenente del tipo , o , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, sia aperto o chiuso in .
I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto come un qualunque sottoinsieme di tale che esista un in corrispondenza del quale Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso. Sia infatti uno spazio normato, e . Se , e è la curva , allora, posto , si ha
e quindi, tenendo conto che per ogni risulta , si ha
qualunque sia . Ne segue che è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che è semplicemente connesso.
Base di intorni
[modifica | modifica wikitesto]Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto.
Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di contiene uno di questi intorni.
Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.
Spazio euclideo
[modifica | modifica wikitesto]Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo di dimensione . Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di è sempre un insieme contenente un insieme aperto , contenente a sua volta . In particolare:
- Un intorno sferico aperto di raggio è l'insieme
dove si fa uso della distanza euclidea.
- Un intorno rettangolare è un intorno del tipo
dove ciascun è un intervallo in , intorno della coordinata -esima di .
Retta reale
[modifica | modifica wikitesto]Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale. Un intorno di un punto della retta reale è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo
dove è un numero positivo. In particolare:
- L'intorno è aperto se è un insieme aperto
- L'intorno aperto di raggio è l'intervallo aperto .
Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo con è un intorno chiuso di .
La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma , per qualche reale. Analogamente un intorno di è un insieme contenente .
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ a b M. Manetti, p. 42.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «intorno»
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'intorno
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Intorno / Intorno (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Intorno, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.