Numero poligonale: differenze tra le versioni
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In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, ''s''-gonali. In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.<br /> |
In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, ''s''-gonali. In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.<br /> |
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Indicando con <math>P_s(n)</math> |
Indicando con <math>P_s(n)</math> l’''n''-esimo numero ''s''-gonale, si definisce in generale<br /> |
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<math>P_s(1) = 1</math> |
<math>P_s(1) = 1</math> e <math>P_s(2) = s</math> qualunque sia ''s'', ovvero il secondo numero della serie dei numeri ''s''-gonali è pari al numero dei vertici (o dei lati) del poligono. |
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I successivi numeri ''s''-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi. |
I successivi numeri ''s''-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi. |
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==Numeri triangolari== |
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L’''n''-esimo numero triangolare ''T(n)'' si ottiene sommando fra loro i primi ''n'' [[numero naturale|numeri naturali]]: |
L’''n''-esimo numero triangolare ''T(n)'' si ottiene sommando fra loro i primi ''n'' [[numero naturale|numeri naturali]]: |
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:<math>T(n)=1+2+3+\ldots +n= \frac{n(n+1)} {2} = \binom{n+1} {2}</math> |
:<math>T(n)=1+2+3+\ldots +n= \frac{n(n+1)} {2} = \binom{n+1} {2}</math> (formula di [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]). |
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I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo: |
I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo: |
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:<math> T(n)=T(n-1)+n</math> per |
:<math> T(n)=T(n-1)+n</math> per <math>n > 1</math> (ricordando che <math> T(1)=1</math> |
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==Numeri quadrati== |
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L’''n''-esimo numero quadrato ''Q(n)'' si ottiene sommando fra loro i primi ''n'' [[numero dispari|numeri dispari]]: |
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:<math>Q(n)=1+3+5+\ldots +(2n-1)= n^2</math>. |
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I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo: |
I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo: |
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:<math> Q(n)=Q(n-1)+(2n-1)</math> per |
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Vale l'[[identità (matematica)|identità]] |
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:<math>Q(n)=T(n)+T(n-1) </math> |
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ovvero ogni [[quadrato perfetto]] |
ovvero ogni [[quadrato perfetto]] può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. L'uguaglianza può essere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato può essere dedotto dalla figura seguente in cui il quadrato è stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e l'altro col lato più corto di uno. |
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L’''n''-esimo numero |
L’''n''-esimo numero pentagonale <math>P_5(n)</math> si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente, aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi e nuovi. In pratica <math>P_5(n)</math> si ottiene sommando a <math>P_5(n-1)</math> i tre nuovi lati di <math>n</math> punti per un totale di <math>3n-2</math> punti: |
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:<math>P_5(n)= P_5(n-1)+(3n-2)</math> |
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Sviluppando all'indietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente: |
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:<math>P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1)</math> |
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con semplici passaggi si ottiene:<br /> |
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:<math>P_5(n)=n^2+\frac{n(n-1)}{2}=Q(n)+T(n-1)=T(n)+2T(n-1) </math> |
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Ovvero qualunque numero pentagonale si può esprimere in funzione di numeri triangolari. |
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Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le [[identità (matematica)|identità]]: |
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:<math>P_6(n)=1+5+9+ \ldots +(4n-3)</math> |
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:<math>P_6(n)=\frac{4n^2-2n}{2}=n(2n-1) </math> |
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:<math>P_6(n)=P_6(n-1)+(4n-3)</math> |
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==Formule generali== |
==Formule generali== |
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Se ''s'' è il numero di lati di un poligono, la formula per l'''n''-esimo numero ''s''-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero |
Se ''s'' è il numero di lati di un poligono, la formula per l'''n''-esimo numero ''s''-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero ''s''-gonale <math>(s-2)</math> lati lunghi <math>n</math>, per un totale di <math>(s-2)(n-1)+1</math> punti, ovvero |
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: <math>P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1</math> |
: <math>P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1</math> |
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Si dimostra facilmente che ciò equivale a |
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Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità |
Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità |
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:<math>P_s(n)=P_{s-1}(n)+T(n-1)</math> |
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:<math>P_s(n) = P_{s-k}(n)+kT(n-1) \ |
:<math>P_s(n) = P_{s-k}(n)+kT(n-1) \ \forall \ k \le \; s-3</math><br />e quindi |
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:<math>P_s(n) = T(n)+(s-3)T(n-1)</math><br />Siccome |
:<math>P_s(n) = T(n)+(s-3)T(n-1)</math><br />Siccome |
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:<math>T(n)=T(n-1)+n</math>, allora |
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Versione delle 11:56, 21 mag 2016
In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare.
Introduzione
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, può formare un triangolo:
ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al contrario del numero 9, che è per l'appunto un numero quadrato (o quadrato perfetto)
Alcuni numeri, come 36, che possono essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli, prendono il nome di numeri quadrati triangolari:
In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, s-gonali. In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.
Indicando con l’n-esimo numero s-gonale, si definisce in generale
e qualunque sia s, ovvero il secondo numero della serie dei numeri s-gonali è pari al numero dei vertici (o dei lati) del poligono.
I successivi numeri s-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi.
Numeri triangolari
L’n-esimo numero triangolare T(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri naturali:
- (formula di Gauss).
I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo:
- per (ricordando che
Numeri quadrati
L’n-esimo numero quadrato Q(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri dispari:
- .
I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo:
- per ()
Vale l'identità
ovvero ogni quadrato perfetto può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. L'uguaglianza può essere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato può essere dedotto dalla figura seguente in cui il quadrato è stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e l'altro col lato più corto di uno.
Numeri pentagonali
L’n-esimo numero pentagonale si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente, aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi e nuovi. In pratica si ottiene sommando a i tre nuovi lati di punti per un totale di punti:
Sviluppando all'indietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente:
Che è equivalente alla:
Dalla
con semplici passaggi si ottiene:
Ovvero qualunque numero pentagonale si può esprimere in funzione di numeri triangolari.
Numeri esagonali
Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le identità:
Formule generali
Se s è il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero s-gonale lati lunghi , per un totale di punti, ovvero
Si dimostra facilmente che ciò equivale a
Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità
e quindi
Siccome- , allora
Tabella dei primi numeri s-gonali
Quando possibile, nella tabella, le formule generatrici sono state semplificate.
Nome | Formula | n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Triangolare | ½n(n + 1) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
Quadrato | n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
Pentagonale | ½n(3n - 1) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | 176 | 210 | 247 |
Esagonale | n(2n - 1) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 231 | 276 | 325 |
Ettagonale | ½n(5n - 3) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | 286 | 342 | 403 |
Ottagonale | n(3n - 2) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 341 | 408 | 481 |
Ennagonale | ½n(7n - 5) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | 396 | 474 | 559 |
Decagonale | n(4n - 3) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | 451 | 540 | 637 |
11-gonale | ½n(9n - 7) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | 506 | 606 | 715 |
12-gonale | n(5n - 4) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | 561 | 672 | 793 |
13-gonale | ½n(11n - 9) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | 616 | 738 | 871 |
14-gonale | n(6n - 5) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 671 | 804 | 949 |
15-gonale | ½n(13n - 11) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | 726 | 870 | 1027 |
16-gonale | n(7n - 6) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | 781 | 936 | 1105 |
17-gonale | ½n(15n - 13) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | 836 | 1002 | 1183 |
18-gonale | n(8n - 7) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 891 | 1068 | 1261 |
19-gonale | ½n(17n - 15) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | 946 | 1134 | 1339 |
20-gonale | n(9n - 8) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | 1001 | 1200 | 1417 |
21-gonale | ½n(19n - 17) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | 1056 | 1266 | 1495 |
22-gonale | n(10n - 9) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | 1111 | 1332 | 1573 |
23-gonale | ½n(21n - 19) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | 1166 | 1398 | 1651 |
24-gonale | n(11n - 10) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | 1221 | 1464 | 1729 |
25-gonale | ½n(23n - 21) | 1 | 25 | 72 | 142 | 235 | 351 | 490 | 652 | 837 | 1045 | 1276 | 1530 | 1807 |
26-gonale | n(12n - 11) | 1 | 26 | 75 | 148 | 245 | 366 | 511 | 680 | 873 | 1090 | 1331 | 1596 | 1885 |
27-gonale | ½n(25n - 23) | 1 | 27 | 78 | 154 | 255 | 381 | 532 | 708 | 909 | 1135 | 1386 | 1662 | 1963 |
28-gonale | n(13n - 12) | 1 | 28 | 81 | 160 | 265 | 396 | 553 | 736 | 945 | 1180 | 1441 | 1728 | 2041 |
29-gonale | ½n(27n - 25) | 1 | 29 | 84 | 166 | 275 | 411 | 574 | 764 | 981 | 1225 | 1496 | 1794 | 2119 |
30-gonale | n(14n - 13) | 1 | 30 | 87 | 172 | 285 | 426 | 595 | 792 | 1017 | 1270 | 1551 | 1860 | 2197 |
Formula inversa
Per un dato numero s-gonale x, è possibile trovare n mediante la formula:
Bibliografia
- I numeri poligonali su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
Voci correlate
- Numero figurato
- Numero poligonale centrato
- Numero poligonale centrale
- Numero piramidale
- Numero tetraedrico
- Quadrato perfetto
- Tetraktys