Intorno: differenze tra le versioni
Riga 40: | Riga 40: | ||
L'insieme in questione viene detto anche '''palla aperta''', o '''disco aperto''', di centro <math>x</math> e raggio <math>r>0</math> (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo <math><</math> il simbolo <math>\leq</math> nella definizione di <math>B(x,r)</math>. Se si indica con <math>\overline S</math> la [[chiusura (topologia)|chiusura]] di un insieme <math>S,</math> allora è coerente indicare con <math>\overline B(x,r)</math> il disco chiuso di centro <math>x</math> e raggio <math>r</math>). |
L'insieme in questione viene detto anche '''palla aperta''', o '''disco aperto''', di centro <math>x</math> e raggio <math>r>0</math> (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo <math><</math> il simbolo <math>\leq</math> nella definizione di <math>B(x,r)</math>. Se si indica con <math>\overline S</math> la [[chiusura (topologia)|chiusura]] di un insieme <math>S,</math> allora è coerente indicare con <math>\overline B(x,r)</math> il disco chiuso di centro <math>x</math> e raggio <math>r</math>). |
||
Un esempio è l'''intorno di raggio <math>r</math>'' citato nel caso della retta reale, quando cioé si considera <math>X=\mathbb{R}</math>, che risulta poi essere un [[intervallo (matematica)|intervallo]] contenente <math>x</math> del tipo <math>]x-r,x+r[</math>, o <math>[x-r,x+r]</math>, ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, <math>B(x,r)</math> sia aperto o chiuso in <math>\mathbb{R}</math>. |
Un esempio è l'''intorno di raggio <math>r</math>'' citato nel caso della retta reale, quando cioé si considera <math>X=\mathbb{R}</math>, che risulta poi essere un [[intervallo (matematica)|intervallo]] contenente <math>x</math> del tipo <math>]x-r,x+r[</math>, o <math>[x-r,x+r]</math>, ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, <math>B(x,r)</math> sia aperto o chiuso in <math>\mathbb{R}</math>. |
||
I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto <math>x\in X</math> come ''un qualunque sottoinsieme <math>U</math> di <math>X</math> tale che esista un <math>r>0</math> in corrispondenza del quale <math>B(x,r)\subseteq U</math> .'' |
I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto <math>x\in X</math> come ''un qualunque sottoinsieme <math>U</math> di <math>X</math> tale che esista un <math>r>0</math> in corrispondenza del quale <math>B(x,r)\subseteq U</math> .'' In secondo luogo, i dischi aperti (ma anche quelli chiusi), godono della proprietà che se definiti in uno [[spazio metrico]] derivante da uno [[spazio normato]] (cioé uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la [[metrica (matematica)|metrica]] è quella indotta dalla norma) , risultano convessi. |
||
=== Sistema di intorni === |
=== Sistema di intorni === |
Versione delle 03:09, 18 apr 2009
In analisi matematica e in topologia, un intorno è un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite.
Un intorno di un punto è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto . Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a si dice che vale "per ogni intorno di ".
Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.
Retta reale
Un intorno di un punto della retta reale R è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo
dove è un numero positivo. In particolare:
- L'intorno è aperto se è un insieme aperto.
- L'intorno aperto di raggio è l'intervallo aperto .
Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo con è un intorno chiuso di .
La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma , per qualche reale. Analogamente un intorno di è un insieme contenente .
Spazio euclideo
Il concetto di intorno si estende dalla retta reale al generico spazio euclideo di dimensione . Nello spazio euclideo, un intorno di è sempre un insieme contenente un insieme aperto , contenente a sua volta . In particolare:
- Un intorno sferico aperto di raggio è l'insieme
dove si fa uso della distanza euclidea.
- Un intorno rettangolare è un intorno del tipo
dove ciascun è un intervallo in , intorno della coordinata -esima di .
Il concetto di intorno sferico si estende a qualsiasi spazio metrico, come descritto più sotto.
Spazi topologici
In un generico spazio topologico , un intorno di un punto è un insieme V che contiene almeno un insieme aperto contenente x:
- .
L'insieme V non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui V è aperto, si parla di intorno aperto e quando V è chiuso di intorno chiuso.
Intorni sferici
Nel caso di uno spazio metrico si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto in di raggio definito come l'insieme:
L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro e raggio (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo il simbolo nella definizione di . Se si indica con la chiusura di un insieme allora è coerente indicare con il disco chiuso di centro e raggio ). Un esempio è l'intorno di raggio citato nel caso della retta reale, quando cioé si considera , che risulta poi essere un intervallo contenente del tipo , o , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, sia aperto o chiuso in . I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto come un qualunque sottoinsieme di tale che esista un in corrispondenza del quale . In secondo luogo, i dischi aperti (ma anche quelli chiusi), godono della proprietà che se definiti in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioé uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma) , risultano convessi.
Sistema di intorni
Un sistema di intorni è un insieme di intorni di un punto fissato "arbitrariamente piccoli": un sistema di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto.
Più precisamente, un sistema di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di contiene uno di questi intorni.
Il sistema di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.
Voci correlate