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{{出典の明記|date=2017年5月}}
[[数学]]において、'''二項演算'''（にこうえんざん、
== 定義 ==
[[集合]] ''A'' 上で定義される 2 変数の[[写像]]
:<math>\mu\colon A \times A \to A;\ (x,y) \mapsto \mu(x,y)</math>
を ''A'' 上の'''二項演算'''あるいは'''乗法'''などと呼び、集合 ''A'' を二項演算 μ の'''台集合''' (<span lang=en>underlying set</span>) などと呼ぶ。''A'' の 2 元 ''x'', ''y'' に対し、[[順序対]] (''x'', ''y'') の二項演算 μ による像 μ(''x'', ''y'') を ''x'' と ''y'' の'''積'''あるいは'''結合'''などと呼んで、多くの場合に[[中置記法]]に則って ''x'' μ ''y'' のように記す（混乱のおそれの無い場合には、しばしば ''xy'' と略記する）。
また、''A'' × ''A'' 上の写像 ''g'' が ''A'' 上の二項演算を与えるとき、''A'' は : {{mvar|A}} の任意の二つの対象から、第三の対象を与える「二項演算」の手続きのみが与えられていて、その手続きの値域がふたたび {{mvar|A}} に含まれるかどうか（第三の対象が {{mvar|A}} の対象となるか）が問題となるとき、この演算が閉じているかどうかを検討することが求められる。
: そのような例として、ある集合 {{mvar|S}} がより大きな集合 {{mvar|A}} の部分集合であって、{{mvar|A}} が特定の[[代数的構造]]を備えた代数系であるとき、{{mvar|S}} が {{mvar|A}} の[[部分代数系]]となること（すなわち、{{mvar|A}} の各演算を {{mvar|S}} に制限した演算を考えるとき {{mvar|S}} 自身が同じ代数的構造を持つこと）は、各演算が {{mvar|S}} において閉じていることが必要十分である。
== 諸概念 ==
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台集合 <math>A</math> とその上の二項演算 <math>\mu</math> がなす組 <math>(A, \mu)</math> を[[マグマ (数学)|マグマ]]という。マグマが持つ二項演算に課せられた条件に基づいて[[半群]]や[[環論|環]]、[[アーベル群]]など、様々な[[代数的構造]]が見いだされる。
== 外部二項演算 ==
[[ベクトル空間]]におけるベクトルの[[スカラー倍]]のようなものを二項演算と考える流儀もある。一般に、集合 ''A'', ''B'' に対し、''B'' の ''A'' への[[作用 (数学)|作用]]、つまり
:<math>\mu\colon B \times A \to A;\ (b, a) \mapsto b \mathop{\,\mu\,} a</math>
の形で与えられる写像 μ を'''外部'''二項演算と呼んで二項演算の仲間に入れることがある。このとき、元の意味での二項演算を'''内部'''二項演算と呼んで区別する。外部二項演算 μ が与えられたとき、適当な写像
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== 関連項目 ==
*[[演算 (数学)|算法]]
*[[代数的構造]]
{{二項演算}}
{{
{{DEFAULTSORT:にこうえんさん}}
[[Category:二項演算|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
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