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宇宙際タイヒミュラー理論

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宇宙際タイヒミュラー理論（うちゅうさいタイヒミュラーりろん、英語: Inter-Universal Teichmüller Theory、略称: IUT）は、数学者望月新一によって開発された、数論におけるさまざまな予想、特にABC予想を解く要件[1]の考察により、遠アーベル幾何などを拡大した圏の宇宙際 (IU) 幾何を構想した数学理論である[2]。望月が2000年代に開発した、p進タイヒミュラー理論、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論、および、数論的log Scheme圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である。ノッティンガム大学で純粋数学の教授を務めるイヴァン・フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている[3][4]。

歴史

望月によれば、それは「楕円曲線を備えた数体のタイヒミュラー理論の算術版」である。この理論は、京都大学数理解析研究所（RIMS）が編集[5]する論文誌PRIMS『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』に投稿され、2012年8月に同所のプレプリント（査読前）サーバで初稿が公開された[6]。その後の7年半にわたる査読で、2021年3月4日のPRIMS特別号に査読論文が掲載された[7]。

この理論は公開後にまもなくイヴァン・フェセンコにより論文が取り上げられたが、望月の新たな数学的手法と言語により「査読に時間がかかるだろう」と報じられた[8]。その後の査読が通過する2020年2月までの7年間以上にわたり、1000以上となる論文の質問への回答[9]と、指摘事項の修正や他の校正等での修正版[10]が京都大学数理解析研究所の望月のWebページで公開された。

2012年10月にヴェッセリン・ディミトロフ[11]とアクシェイ・ヴェンカテシュにより誤りの指摘[12]があり、望月は指摘を認めつつ本質的結果は影響されないと意見を述べ、修正版[13]を公開した。この修正により「弱いABC予想」の証明となった。

2015年にイヴァン・フェセンコ によって、望月の宇宙際タイヒミュラー理論のサーベイ論文が発表された[14]。

IUTに関する全国ワークショップが2015年3月にRIMSで、2015年7月に北京で開催された[15]。また国際ワークショップが2015年12月にオックスフォードで、2016年7月にRIMSで開催された。国際ワークショップは100人以上の参加者を集めた。これらのワークショップのプレゼンテーションはオンラインで見ることが出来る[16][17]。参加者のブライアン・コンラッド は「準備論文の理解に大きな進展があったが、本論文の検討にはたどり着けなかった。」と感想を述べている[18]。

2017年9月1日、京都大学数理解析研究所の山下剛から宇宙際タイヒミュラー理論に対するサーベイ論文が発表された[19]。

2018年3月、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが京都大学を訪れ、望月と星裕一郎は彼らと5日間議論し[20][21]、双方による議論のレポートの作成につながった。またこの議論は2018年9月のQuanta Magazine（英語版）に記載された[22]。ショルツェとスティックスは、2018年5月、および2018年9月に10ページのレポートを公開して、系3.12の証明の反例を詳述し、「小さな修正で証明戦略を救うことはできない、そして望月のプレプリントはABC予想の証明を主張することはできない」と主張した[23]。一方、望月は、反例においてIUT理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化が誤りであるとして有効とはみなしてない。

2018年9月、望月は上記のショルツェとスティックスのレポートが公開された後に、彼の理論のどの側面が誤解されていると考えるかのレポートを公開して反論した[24]。また2021年3月、このような誤りは「理論の論理構造が論理的なAND “∧”であるが、OR “∨”に取り違えた簡略化によるもの」との論文を公開した[25]。

2020年2月5日に望月の証明が『PRIMS』の査読を通過したことが、同年4月に京都大学数理解析研究所（RIMS）の柏原正樹、玉川安騎男より発表された[26]。会見の「論文採択のお知らせ」によると、論文は著者の望月新一がPRIMS編集長であるため、柏原正樹および玉川安騎男を共同編集委員長として、望月新一を完全に除外した特別編集委員会を構成して採否の審査が行なわれた[27]。

発表で、柏原正樹は「ABC予想を証明した望月氏の論文が正しいものであると判断した」[28]と述べている。内容に懐疑的な海外の数学者もいるが玉川安騎男は「反論は出尽くしており、今後も平行線のままではないか」との見方[29]で、編集委員会では「望月教授自身が反論もしており（ショルツェ教授からの）再反論もない」[30]との認識を表明した。

2020年11月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らにより、IUT理論に登場する不等式を数値的に明示的な形（非明示的な「定数」が現れない）に精密化させた帰結により、強いABC予想の証明への適用を拡げる論文がプレプリント[31]で提案された。

2021年3月に京都大学数理解析研究所（RIMS）が編集する論文誌PRIMSは、宇宙際タイヒミュラー理論の論文4本を特別号で掲載[32]した。PRIMS特別編集委員会共同編集委員長で、審査のまとめ役である玉川安騎男は「今回掲載されたものが未来に残る最終確定のものだ」とコメントした[33]。

2021年7月、フィールズ賞受賞者でドイツのボン大学教授であるペーター・ショルツェがZentralblatt Math誌に一連の望月IUT論文への批判的レビューを寄稿した。その中で、”In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.”などと批判した[34]。また、これ以上の論争に巻き込まれることを避け、自身の仕事に専念するため、宇宙際タイヒミューラー理論に対して関わりを持たない[35]ようになった。こうした批判的態度はペーター・ショルツェだけに留まらず、論文の査読が完了しても批判の声が多数上がり続けている状況である[36]。

2021年11月、東京工業大学が発行する数学誌「Kodai　Math.J.」が、「強いABC予想」の証明について、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らによる前述の論文を受理したことが報道[37]された。

2022年4月　日本放送協会の制作によるドラマ番組NHKスペシャルで宇宙際タイヒミュラー理論で「数学者は宇宙をつなげるか？ａｂｃ予想証明をめぐる数奇な物語」が放送[38][39]された。

　同放送では「査読の完了と専門誌への掲載は、望月博士の偉業が、世界に正式に認められたことを意味しました。ところが…望月の証明はまだ受け入れられないと主張する数学者が多数現れ、今も激論が続いている」との状況が説明され、これに対し「その答えを知りたければ、ａｂｃ予想を解き明かしたという宇宙際タイヒミューラー理論が、これまでの数学と何が違うのか。それを理解しなければならない」ため、「ａｂｃ予想とはどんな難問なのか」から展開された。

　「ａｂｃ予想には、左側にはたし算が、右側にはかけ算が現れていました。この数式を証明するためには、数学の世界に混ざり合うように存在しているたし算とかけ算を、いわば分離するという、根源的な課題に切り込む必要がある」ことから、これに対する望月のアイデアで「かけ算はちゃんと成立するけど、たし算が成立しない、そんな数学世界を作ることで」「たし算とかけ算を独立して扱う」ため、理論は「通常の数学の世界から飛び出し、これまでにない数学」への進化を含んでいた。

　従い査読されても激論となった問題には「望月理論が出発点とした」「数学世界」で「全く同じものでありながら異なるものとしても扱うという、一見矛盾する論理展開」等があり、「現今の数学との違いを完全に言語化する言語体系を、早急に作る」必要と、マックス・プランク数学研究所のファルティングス博士は「これまでの数学との違いを分かりやすく説明する言葉を見つけてほしい」等の意見が紹介された。

　これに対して、望月博士本人が「『同じものでもあり異なるものでもある』という論理展開を、詳しく解説する文章[40]を公表」していることが述べられ、および「私は、この理論もまた、多くの数学者が研究している数学とつながっていると思っています。数学の世界がつながっているだけでなく、数学者同士もまた、つながっていると信じているのです」と発信したコメントが紹介された。

数学的な意味

理論の範囲

宇宙際タイヒミュラー理論は、数論幾何学における望月の以前の研究の続きである。この理論は、国際的な数学界によって査読され、好評を得ており、遠アーベル幾何学への主要な貢献、およびp進タイヒミュラー理論[注 1]、ホッジ・アラケロフ理論およびフロベニオイド圏の開発を含む。これは、ABC予想および関連する予想をより深く理解することを目的として明示的に参照して開発されたものである。幾何学的な設定では、IUTの特定のアイデアに類似したものが、幾何学的なスピロ不等式のフョードル・ボゴモロフ（英語版）による証明に現れる[41]。

IUTの重要な前提条件は、望月の単遠アーベル幾何学[注 2] とその強力な再構成結果である。これにより、その基本群または特定のガロア群の知識から、数体上の双曲線に関連するさまざまなスキーム理論オブジェクトを取得できる。IUTは、単遠アーベル幾何学のアルゴリズムの結果を適用して、算術変形を適用した後、関連するスキームを再構築する。主要な役割は、望月のエタルシータ理論で確立された3つの剛性によって演じられる。大まかに言えば、乗法的情報から加法構造を遠アーベル的な復元[43]を行い、算術変形は与えられた環の乗算を変更し、タスクは加算が変更された量を測定すること[44]である。遠アーベル的な復元、 変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる[45]。

これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールやイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、環またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。 ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している[45]。

数論の結果

IUTは主に、数論におけるさまざまな予想、特にディオファントス問題の解析に適用されるが、次のようなより多くの幾何学的予想に適用される。

最初の進展は、宇宙際タイヒミュラー理論の原論文[46]の帰結による、弱いABC予想、楕円曲線ではスピロ予想、楕円曲線のFrey予想、曲線ではヴォイタ予想への適用である。これらのオブジェクトの算術情報を、フロベニオイド圏の設定に変換することである。この側の追加の構造により、主張された結果に変換されるステートメントを推測することができると主張されている[47]。

2つめの進展としては、2020年11月に公開されたプレプリント[31]における、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らが、IUT理論に登場する不等式を数値的に明示的な形（非明示的な「定数」が現れない）に精密化させた帰結により、強いABC予想の証明、デュサールの式、およびフェルマーの最終定理の別証明、への適用を拡げた。

3つめの進展としては、IUTにおけるテータ関数を、メリン変換によってリーマンのゼータ関数と関係させることができるのではないかと期待しての研究[48]で、宇宙際タイヒミュラー理論と、リーマンゼータ関数を一般化したDirichlet L関数の零点の間に数学的な関係があったとされ[49]て、L関数の零点[50][51]で応用が検討されている。

その他の進展としては、高機能暗号への暗号理論的な検討[52][53]などで、応用が検討されている。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

  1. ^ p進数についてのタイヒミュラー空間の理論（英語版）（タイヒミュラー理論は、リーマン面についてのモジュライ空間の理論で、タイヒミュラー空間はドイツの数学者オズヴァルト・タイヒミュラーに因む）。
  2. ^ 単(mono-)遠アーベル幾何学とは、数体または他のいくつかの体にわたる特定のクラスの双曲的曲線について、その代数的基本群からその曲線を復元するものである。単遠アーベル幾何学の主要な結果は望月の「絶対遠アーベル幾何学」などにある。 ”「復元」の操作は一種のアルゴリズムであり、コンピュータのソフトウェアに似ています。IUT論文も、「復元」のアルゴリズムとして、ステートメントは長いが証明は自明という定義や命題を積み重ねていくことによって高度に非自明な構造を作り上げています。”[42]

出典

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関連項目

外部リンク

関連書籍

  • 加藤文元：「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」、KADOKAWA、 ISBN 978-4044004170　(2019年4月25日)。
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