갈릴레온

양자장론에서, 갈릴레온(영어: galileon)은 특별한 대칭을 갖는, 고차 미분 상호 작용을 갖는 스칼라장이다.

정의

민코프스키 공간 위의 스칼라장 $\phi$의 이론을 생각하자. 이 이론이 만약 다음과 같은 갈릴레이 변환

$\phi (x)\mapsto \phi (x)+a+b_{\mu }x^{\mu }$

에 대하여 불변이라면, 스칼라장 $\phi$를 갈릴레온이라고 한다.

작용

$D$차원의 시공간에 존재하는 갈릴레온 $\phi$의 작용은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

${\mathcal {L}}=\sum _{n=0}^{D}\alpha _{n+1}\phi \epsilon ^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}\epsilon ^{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}\prod _{i=1}^{n}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\nu _{i}}\phi \prod _{j=n+1}^{D}g_{\mu _{i}\nu _{i}}=D!\alpha _{0}\phi +(D-1)!\alpha _{1}\phi (\partial \phi )^{2}+(D-2)!\alpha _{2}\phi ((\partial ^{2}\phi )(\partial ^{2}\phi )-(\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )(\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\phi ))+\dotsb +\delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}(\partial _{\mu _{1}}\partial _{\nu _{2}}\phi )\dotsm (\partial _{\mu _{D}}\partial _{\nu _{D}}\phi )$

여기서 $\alpha _{0},\alpha _{1},\dotsc$는 임의의 실수 결합 상수이며, $\delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}$는 일반화 크로네커 기호 ($(\nu _{1},\dotsc ,\nu _{D})=(\mu _{\sigma (1)},\dotsc ,\mu _{\sigma (D)})$일 때, $\delta _{\nu _{1}\dotso \nu _{D}}^{\mu _{1}\dotso \mu _{D}}=(-)^{\sigma }$)이다.

양자역학적으로 이론이 잘 정의되려면 (바닥 상태가 존재하려면) $\alpha _{1}=0$이어야 한다. 또한, 항상 $\phi$에 상수를 곱하여

$\alpha _{2}={\frac {(-)^{D}}{2(D-1)!}}$

로 놓을 수 있다 (운동항의 규격화).

특수 갈릴레온(영어: special galileon)은 다음과 같은 결합 상수를 갖는 갈릴레온이다.

$\alpha _{n}={\begin{cases}{\frac {1}{nM^{(n-2)(D+2)/2}}}{\binom {D}{n-1}}&2\mid n\\0&2\not \mid n\end{cases}}$

여기서 $M$은 질량의 단위를 갖는 결합 상수이다. 특수 갈릴레온은 갈릴레이 대칭 말고도, 다음과 같은 특별한 대칭을 갖는다.

$\phi \mapsto \phi +\theta ^{\mu \nu }(M^{(D+2)}x_{\mu }x_{\nu }-\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi )$

성질

일반적으로, 3차 이상의 고차 미분항을 갖는 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 장의 3차 이상의 미분에 의존하는 편미분 방정식이므로, 불안정하다. 그러나 갈릴레온의 경우 오일러-라그랑주 방정식은 오직 장의 2차 미분에만 의존한다. 즉, 장의 1차 및 0차 및 3차 이상의 미분은 장방정식에 등장하지 않는다.

응용

갈릴레온은 각종 중력 이론에 등장한다.