Z변환

수학이나 신호 처리에서 Z 변환은 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사

Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로 부터 유래되었다.

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화 되었다.

정의

다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

양방향 Z 변환

연속시간 신호 $x[n]$의 양방향 Z 변환은 $X(z)$로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.$

여기서 $n$은 정수이고 $z$는 일반적으로 복소수 이다. 즉, $z$는 복소수의 크기 $A$와 허수 단위 $j$, 그리고 편각 $\phi$를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$

단방향 Z 변환

만약 $x[n]$이 $n\geq 0$에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

예제

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

$x[n]=1,\quad n=0,1,2,\ldots$

그러면 $x[n]$의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots = \frac{1}{1 - z^{-1}},\quad 1<|z|.}

성질

선형성 (Linearity)

두 이산 시간 신호 $x_{1}[n]$, $x_{2}[n]$의 Z 변환을 각각 $X_{1}(z)$, $X_{2}(z)$라 두면, 상수 $a_{1}$, $a_{2}$에 대해 $x[n]=a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$의 Z 변환은 다음과 같다

${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z).\end{aligned}}$

시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)

양방향 Z 변환의 경우

이산 시간 신호 $x[n]$의 Z 변환을 $X(z)$라 두면 정수 $k$에 대해 $x[n-k]$의 Z 변환은 다음과 같다.

${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$

단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 $k\geq 1$인 경우

${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-m}z^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z),\end{aligned}}$

$k\leq -1$인 경우

${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)},\quad m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=-\sum _{m=0}^{-k}x[m]z^{-m}z^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=-\sum _{m=0}^{-k}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z).\end{aligned}}$

Z 역변환

Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,$

여기서 $C$는 원점과 수렴 반경 전체를 둘러싸는 반시계방향 닫힌 경로이다.

참고문헌

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1. Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; ISBN 0130172936, 9780130172938.