자이로스코프 는 각운동량 때문에 회전하는 동안에 계속 위를 바라보게 된다.각운동량 (角運動量)은 물리학 에서 어떤 원점에 대해 선운동량 이 돌고 있는 정도를 나타내는 물리량 이다. 각운동량은 좌표 의 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라지기 때문에, 여러 각운동량을 다룰 때에는 둘을 합하거나 그에 관련한 연산을 하는 것이 물리학적으로 올바른 것인지 신중히 고려하며 사용해야 한다.
각운동량은 물리학뿐만 아니라 여러 공학 분야에서도 매우 중요한 개념이고, 응용분야 또한 매우 다양하다. 이렇게 각운동량이 중요하게 다루어지는 이유는 돌림힘 이 작용하지 않으면 각운동량은 보존되는 양이 되기 때문이다. 뇌터의 정리 에 의하면 각운동량의 보존은 공간 의 회전대칭성 때문이다. 이러한 각운동량의 보존은 공학뿐만 아니라 여러 자연현상을 기술하는 데에도 유용하게 사용된다.
회전계에서 힘 (F)과 돌림힘 (τ), 그리고 운동량 벡터들 (p 와 L)의 관계 어떤 원점에 대한 입자의 각운동량을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.:
L
=
r
×
p
=
r
×
m
v
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }
여기서,
m
{\displaystyle m}
질량
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
속도 이다. 시스템이 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,
L
=
∑
i
r
i
×
p
i
{\displaystyle L=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}}
좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.
L
=
∫
V
r
×
v
d
m
{\displaystyle L=\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm}
많은 경우, 고정된 특정한 한 축에 대한 각운동량만을 고려하기 때문에 각운동량을 3차원 벡터로 취급하지 않고 단순히 반시계방향의 회전은 양으로, 시계방향의 회전은 음으로 취급하여 스칼라로 놓기도 한다. 이렇게 할 때에는 외적 의 크기로 각운동량을 표기하게 된다.
L
=
|
r
|
|
p
|
sin
θ
{\displaystyle L=|\mathbf {r} ||\mathbf {p} |\sin \theta }
여기서
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
각운동량을 시간에 대해 미분하면 돌림힘
τ
{\displaystyle \mathbf {\tau } }
d
L
d
t
=
(
d
r
d
t
×
p
)
+
(
r
×
d
p
d
t
)
=
(
v
×
m
v
)
+
(
r
×
F
)
=
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}{d\mathbf {L} \over dt}&=\left({d\mathbf {r} \over dt}\times \mathbf {p} \right)+\left(\mathbf {r} \times {d\mathbf {p} \over dt}\right)\\&=\left(\mathbf {v} \times m\mathbf {v} \right)+\left(\mathbf {r} \times \mathbf {F} \right)\\&=\mathbf {\tau } \end{aligned}}}
가 된다. 만약 어떤 원점을 기준으로 계 에 돌림힘이 작용하지 않으면
d
L
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}
이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 각운동량 보존법칙 또는 간단히 각운동량보존 (conservation of angular momentum )이라고 부른다.
각운동량 보존법칙은 특히 중심력이 작용하는 운동을 분석하는 데 유용하게 쓰일 수 있다. 중심력이 작용하는 입자들의 운동에서 두 입자는 외부로부터의 영향에서 고립된 계를 이루고, 원점은 두 입자를 잇는 선 위의 한 점으로 잡는다. 서로 작용하는 힘의 방향이 언제나 원점에서 입자들까지의 위치벡터와 같은 방향이 되므로, 앞에서 잡은 원점을 기준으로 한 알짜 토크는 언제나 0이 된다. 따라서, 각운동량은 보존된다. 일정한 각운동량을 갖는 이와같은 경우는, 행성, 위성, 원자의 보어모형등의 분석에 유용하게 사용된다.
관성모멘트 와 각운동량 사이에는 질량 과 운동량 사이의 관계
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
와 유사하게
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}
꼴의 식이 있다. 경우에 따라 스칼라 관성모멘트
I
{\displaystyle I}
관성텐서
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트
I
{\displaystyle I}
각속도
ω
{\displaystyle \mathbf {\omega } }
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}
위 식은 스칼라 관성모멘트의 정의
I
=
m
|
r
|
2
{\displaystyle I=m|\mathbf {r} |^{2}}
와 각속도 의 공식 (
ω
{\displaystyle \mathbf {\omega } }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
수직 일 때만 성립.)
ω
=
r
×
v
|
r
|
2
{\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}}}
을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.
L
=
r
×
m
v
=
(
m
|
r
|
2
)
⋅
(
r
×
v
|
r
|
2
)
=
I
ω
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\left(m|\mathbf {r} |^{2}\right)\cdot \left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)\\&=I{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}
여기서는 입자 하나에 대해서만 유도를 하였지만, 일반적인 경우에도 관성모멘트와 각운동량 사이에는 이와 같은 관계가 성립한다.
회전축도 변하는 일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도 벡터는 평행하지 않다. 때문에 스칼라 관성모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성텐서
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
L
=
I
⋅
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}
관성텐서의 각 성분
I
i
j
{\displaystyle I_{ij}}
I
i
j
=
m
(
|
r
|
2
δ
i
j
−
r
i
r
j
)
{\displaystyle I_{ij}=m\left(|\mathbf {r} |^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j}\right)}
이와 속도와 각속도의 일반적 관계
v
=
ω
×
r
{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }
를 사용하면 각운동량과 관성텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다. 각운동량의 정의에 이를 대입하면,
L
=
r
×
m
v
=
m
r
×
(
ω
×
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=m\mathbf {r} \times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\\end{aligned}}}
를 얻고, 여기서 삼중곱 을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.
L
=
m
[
ω
|
r
|
2
−
r
(
r
⋅
ω
)
]
{\displaystyle \mathbf {L} =m\left[{\boldsymbol {\omega }}|\mathbf {r} |^{2}-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\right]}
이제,
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
i
{\displaystyle L_{i}}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
L
i
=
m
[
ω
i
|
r
|
2
−
r
i
r
j
ω
j
)
]
=
∑
j
m
[
|
r
|
2
δ
i
j
−
r
i
r
j
)
]
ω
j
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{i}&=m\left[\omega _{i}|\mathbf {r} |^{2}-r_{i}r_{j}\omega _{j})\right]\\&=\sum _{j}m\left[|\mathbf {r} |^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\right]\omega _{j}\end{aligned}}}
관성텐서 의 정의를 대입하면,
L
i
=
∑
j
I
i
j
ω
j
{\displaystyle L_{i}=\sum _{j}I_{ij}\omega _{j}\,}
가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.
양자역학에서의 각운동량은 연속적으로 변하지 않고 양자화 되어 있다. 크게 두 종류의 각운동량이 있는데, 고전역학에서의 각운동량에 해당하는 궤도각운동량 (orbital angular momentum )과 입자의 본질적 특성으로 취급되는 스핀각운동량 spin angular momentum )이 있다. 전자의 경우는 간단히 각운동량 , 후자의 경우는 스핀 이란 표현도 자주 쓰인다. 여기에서는 고전역학의 각운동량에 대응되는 궤도각운동량만을 다룬다.
양자역학에서의 각운동량은 고전역학과 유사하지만, 어떤 양으로 정의되는 것이 아니라 파동함수 에 작용하는 연산자로써 정의된다.
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
여기서,
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
이다. 위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가
p
=
h
i
∇
{\displaystyle \textstyle \mathbf {p} ={h \over i}\nabla }
L
=
h
i
r
×
∇
{\displaystyle \mathbf {L} ={h \over i}\mathbf {r} \times \nabla }
정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱
L
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}
직교좌표계 에서의 성분에 대한 연산자
L
x
{\displaystyle L_{x}}
L
y
{\displaystyle L_{y}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
x
=
−
i
ℏ
(
y
∂
∂
z
−
z
∂
∂
y
)
{\displaystyle L_{x}=-i\hbar (y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y})}
L
y
=
−
i
ℏ
(
z
∂
∂
x
−
x
∂
∂
z
)
{\displaystyle L_{y}=-i\hbar (z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z})}
L
z
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{\displaystyle L_{z}=-i\hbar (x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x})}
L
2
=
L
x
2
+
L
y
2
+
L
z
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}
때때로, 아래와 같이 정의되는
L
+
{\displaystyle L_{+}}
L
−
{\displaystyle L_{-}}
L
±
=
L
x
±
i
L
y
{\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}
이 두 연산자들은 파동함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.
먼저, 각운동량 연산자의 직교좌표계 의 성분들 사이에는 다음과 같은 교환관계 가 있다.
[
L
x
,
L
y
]
=
i
ℏ
L
z
{\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z}}
[
L
y
,
L
z
]
=
i
ℏ
L
x
{\displaystyle \left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x}}
[
L
z
,
L
x
]
=
i
ℏ
L
y
{\displaystyle \left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}}
위 식을 간단히 레비-치비타 기호 를 써서
[
L
i
,
L
j
]
=
∑
k
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \left[L_{i},L_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
또는 아인슈타인 표기법 까지 써서
[
L
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
라 쓰기도 한다. 이를 보면, 각 성분 연산자 사이에는 교환법칙 이 성립하지 않음을 확인할 수 있다. 따라서, 하이젠베르크의 불확정성원리 에 의하면 이들 셋은 동시에 정확히 측정 불가능한 물리량이 된다.
성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환관계 가 성립한다.
[
L
i
,
L
2
]
=
0
{\displaystyle \left[L_{i},\mathbf {L} ^{2}\right]=0}
위 둘 사이에서는 교환법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환관계는 수소원자 에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 보통 정확히 측정되는 성분으로 z성분을 택한다.
이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환관계로 아래와 같은 관계가 있다.
[
L
+
,
L
−
]
=
2
ℏ
L
z
{\displaystyle \left[L_{+},L_{-}\right]=2\hbar L_{z}}
[
L
z
,
L
±
]
=
±
ℏ
L
±
{\displaystyle \left[L_{z},L_{\pm }\right]=\pm \hbar L_{\pm }}
[
L
2
,
L
±
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathbf {L} ^{2},L_{\pm }\right]=0}
각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.
L
+
L
−
+
L
−
L
+
=
2
(
L
x
2
+
L
y
2
)
=
2
(
L
2
−
L
z
2
)
{\displaystyle L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+}=2(L_{x}^{2}+L_{y}^{2})=2(\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2})}
L
+
L
−
=
L
2
−
L
z
2
+
ℏ
L
z
{\displaystyle L_{+}L_{-}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}+\hbar L_{z}}
L
−
L
+
=
L
2
−
L
z
2
−
ℏ
L
z
{\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-\hbar L_{z}}
위의 교환관계에서 설명하였다 시피, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수 는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로
L
z
{\displaystyle L_{z}}
고유값 방정식은 다음과 같다.
L
2
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle }
L
z
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
m
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }
여기서, 고유함수
l
(
l
+
1
)
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle l(l+1)|l,m\rangle }
구면조화함수 이며,
l
{\displaystyle l}
정수 또는 반정수 이며,
m
{\displaystyle m}
−
l
,
−
l
+
1
,
−
l
+
2
,
⋯
,
l
−
1
,
l
{\displaystyle -l,-l+1,-l+2,\cdots ,l-1,l}
고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의
m
{\displaystyle m}
L
+
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
(
l
−
m
)
(
l
+
m
+
1
)
|
l
,
m
+
1
⟩
{\displaystyle L^{+}|l,m\rangle =\hbar {\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}|l,m+1\rangle }
L
−
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
(
l
+
m
)
(
l
−
m
+
1
)
|
l
,
m
−
1
⟩
{\displaystyle L^{-}|l,m\rangle =\hbar {\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}|l,m-1\rangle }
![{\displaystyle \mathbf {L} =m\left[{\boldsymbol {\omega }}|\mathbf {r} |^{2}-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e274214c560921d4da3c645867265c904a4b365a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{i}&=m\left[\omega _{i}|\mathbf {r} |^{2}-r_{i}r_{j}\omega _{j})\right]\\&=\sum _{j}m\left[|\mathbf {r} |^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\right]\omega _{j}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98df8f40f5a9b012c85b27011870aa25f4ccbcd1)
![{\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3148ff4b519970c6d09ed4c4acfe7845ebd64bb7)
![{\displaystyle \left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a79003372a8ee8658f868c01f05d5d934b695d)
![{\displaystyle \left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6a4d2d356cd5ddf877722fb5884368b9929dbf)
![{\displaystyle \left[L_{i},L_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27617f43ceb19c9201699b7b375ade598c5fcf20)
![{\displaystyle \left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2179242806536ed5938bc72bfff08f8fad2e71f)
![{\displaystyle \left[L_{i},\mathbf {L} ^{2}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5b48a856f136681acd4aa7580c7d0b6af092f1)
![{\displaystyle \left[L_{+},L_{-}\right]=2\hbar L_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c5314fea02776eb90454436a4dace672cacf24)
![{\displaystyle \left[L_{z},L_{\pm }\right]=\pm \hbar L_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8889c0dfd24bef154946ab9e929c7e322266b3)
![{\displaystyle \left[\mathbf {L} ^{2},L_{\pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f5838a65025506182a205b97d6b91241e88104)
