Functio

Functio est congruentia inter duas copias, quae determinat unum secondae copiae elementum ad elementum quemque primae copiae. Prima copia dicitur dominium, altera codominium. Si $x$ nominat elementum quendam primae copiae, $x$ est variabilis dependens. Si $f$ est functio, possumus scribere $y=f(x)$, quod significat y est elementum codomini ad x elementum domini respondens. Deinde $y$ est variabilis independens.

Si sunt plures quantitates $y$ ad x elementum respondentes, congruentia non est functio. Exempli gratia: sit $f(x)=\pm {\sqrt {x}}$, et sint dominium et codominium copia numerorum realium $\mathbb {R}$. Haec congruentia non est functio, quod ad elementum $x$ (sicut 4) respondent duae elementa (sicut 2, -2). Sed si codominium est copia numerorum realium non-negativorum, vel si functio est $f(x)=+{\sqrt {x}}$, haec congruentia functio est.

Licet functio definire per formulam aut regulam aut tabulam, dum sit modo unum elementum codomini quod ad elementum quemque domini respondat.

Analysis est theoria functionum. Analysis numerorum realium est theoria functionum quarum dominium (et codominium) est $\mathbb {R}$; analysis numerorum complexorum, earum quarum dominium est $\mathbb {C}$. G. H. Hardy dicit, "Haec notio, ut quantitas variabilis dependet ex alia, est fortasse notio maximi momenti per totam rem mathematicam."

Si dominium est copia quantitatum binarum, sicut $\mathbb {R} ^{2}$, functio habet duas variabiles dependentes. Exempli gratia, $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Hac functione $f$ par $(x,y)$ ad unum elementum codomini (quod est $\mathbb {R}$) congruit, sicut par $(2,3)$ congruit ad $2^{2}+3^{2}=4+9=13$. Possumus habere functiones trium, quattuor, vel plurimorum variabilum dependentium.

Altera notatio functionum est notatio lambda, quae nominat variabiles dependentes post lambda litteram. Scribimus: $f=\lambda (x).x^{2}$ vel $f(x)=x^{2}$ ad eandem functionem describendam. Forma sicut $\lambda (x).x^{2}$ est combinator.

Bibliographia

H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, W. Süss, ed. Fundamentals of Mathematics, vol 1: Foundations of Mathematics: The Real Number System and Algebra. trans. S. H. Gould. Cambridge, MA: MIT Press, 1974.

G. H. Hardy. A Course of Pure Mathematics, editio 10a. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.