Podłoga i sufit: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Funkcja sugerowania linków: dodane 4 linki. |
→Część ułamkowa: ilustracja |
||
(Nie pokazano 10 wersji utworzonych przez 6 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
⚫ | |||
⚫ | |||
'''Podłoga''' i '''sufit''' ({{ang.|floor and ceiling}}) – [[Funkcja|funkcje]] [[zaokrąglanie|zaokrąglające]] [[liczby rzeczywiste]] do [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] odpowiednio w dół i w górę. |
'''Podłoga''' i '''sufit''' ({{ang.|floor and ceiling}}) – [[Funkcja|funkcje]] [[zaokrąglanie|zaokrąglające]] [[liczby rzeczywiste]] do [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] odpowiednio w dół i w górę. |
||
== Definicja formalna == |
== Definicja formalna == |
||
'''Podłoga''', '''część całkowita''', '''cecha''' lub '''''entier''''' liczby rzeczywistej <math>x,</math> oznaczana <math>\lfloor x \rfloor,</math> <math>[x],</math> <math>\mbox{E}(x)</math> lub <math>\mbox{Ent}(x)</math> to największa liczba całkowita nie większa od <math>x |
'''Podłoga''', '''część całkowita''', '''cecha''' lub '''''entier''''' liczby rzeczywistej <math>x,</math> oznaczana <math>\lfloor x \rfloor,</math> <math>[x],</math> <math>\mbox{E}(x)</math> lub <math>\mbox{Ent}(x)</math> to największa liczba całkowita nie większa od <math>x</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3883770 | tytuł = cecha liczby | data dostępu = 2023-05-31}}</ref>. Symbolicznie: |
||
: <math>\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}</math> |
: <math>\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}</math> |
||
Linia 8: | Linia 11: | ||
: <math>\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}</math> |
: <math>\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}</math> |
||
'''Częścią ułamkową''' bądź '''mantysą''' liczby rzeczywistej <math>x</math> nazywa się liczbę <math>x - \lfloor x \rfloor.</math> Oznacza się ją <math>\{x\}</math> |
'''Częścią ułamkową''' bądź '''mantysą''' liczby rzeczywistej <math>x</math> nazywa się liczbę <math>x - \lfloor x \rfloor.</math> Oznacza się ją <math>\{x\}</math> (nie należy mylić z identycznie zapisywanym zbiorem jednoelementowym) |
||
: <math>\{x\} = x - \lfloor x \rfloor</math> |
: <math>\{x\} = x - \lfloor x \rfloor.</math> |
||
W informatyce pojęcia cechy i mantysy są rozumiane inaczej, zob. [[Notacja naukowa]] i [[Liczba zmiennoprzecinkowa]]. |
|||
== Przykłady == |
== Przykłady == |
||
Linia 23: | Linia 27: | ||
== Własności == |
== Własności == |
||
=== Podłoga i sufit === |
=== Podłoga i sufit === |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności: |
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności: |
||
: <math>\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1</math> |
: <math>\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1</math> |
||
Linia 46: | Linia 47: | ||
=== Część ułamkowa === |
=== Część ułamkowa === |
||
⚫ | |||
Część ułamkowa należy zawsze do [[przedział (matematyka)|przedziału]] <math>[0;1),</math> tzn. |
Część ułamkowa należy zawsze do [[przedział (matematyka)|przedziału]] <math>[0;1),</math> tzn. |
||
Linia 51: | Linia 54: | ||
dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>x</math> |
dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>x</math> |
||
⚫ | |||
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako <math>x \mbox{mod} 1,</math> gdzie <math>\mbox{mod}</math> jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste. |
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako <math>x \mbox{mod} 1,</math> gdzie <math>\mbox{mod}</math> jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste. |
||
Linia 88: | Linia 89: | ||
\lg 10\;000 & = & 4,000\;000 \\ |
\lg 10\;000 & = & 4,000\;000 \\ |
||
\lg 100\;000 & = & 5,000\;000 \\ |
\lg 100\;000 & = & 5,000\;000 \\ |
||
\lg 1\;000\;000 & = & 6,000\;000 |
\lg 1\;000\;000 & = & 6,000\;000 |
||
\end{array}</math> |
\end{array}</math> |
||
Linia 100: | Linia 101: | ||
\lg 40,28 & = & 1,605089 \dots \\ |
\lg 40,28 & = & 1,605089 \dots \\ |
||
\lg 4\;028 & = & 3,605089 \dots \\ |
\lg 4\;028 & = & 3,605089 \dots \\ |
||
\lg 4\;028\;000 & = & 6,605089 \dots |
\lg 4\;028\;000 & = & 6,605089 \dots |
||
\end{array}</math> |
\end{array}</math> |
||
== Przypisy == |
== Przypisy == |
||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
||
== Linki zewnętrzne == |
|||
* {{MathWorld | adres = IntegerPart | tytuł = Integer Part}} [dostęp 2023-05-31]. |
|||
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integral_part Integral part]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31]. |
|||
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Floor_function Floor function]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31]. |
|||
{{Arytmetyka elementarna}} |
|||
[[Kategoria:Działania na liczbach]] |
[[Kategoria:Działania na liczbach]] |
Aktualna wersja na dzień 17:32, 4 maj 2024
Podłoga i sufit (ang. floor and ceiling) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej oznaczana lub to największa liczba całkowita nie większa od [1]. Symbolicznie:
Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od Liczbę tę oznaczamy symbolem Symbolicznie:
Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej nazywa się liczbę Oznacza się ją (nie należy mylić z identycznie zapisywanym zbiorem jednoelementowym)
W informatyce pojęcia cechy i mantysy są rozumiane inaczej, zob. Notacja naukowa i Liczba zmiennoprzecinkowa.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Nazwy
[edytuj | edytuj kod]Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], dla cechy i {·} dla mantysy.
Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Kennetha E. Iversona[2][3], który zaproponował oznaczenie dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).
Własności
[edytuj | edytuj kod]Podłoga i sufit
[edytuj | edytuj kod]Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:
Ponadto
przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:
Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.
Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:
Ponadto:
- dla dowolnego
Część ułamkowa
[edytuj | edytuj kod]Część ułamkowa należy zawsze do przedziału tzn.
dla dowolnej liczby rzeczywistej
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako gdzie jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.
Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym
Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:
o ile funkcja jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.
Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.
Cecha i mantysa logarytmu
[edytuj | edytuj kod]Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:
- Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
- Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).
Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Mantysa logarytmów liczb postaci (gdzie jest całkowite) wynosi np.:
Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ cecha liczby, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-05-31] .
- ↑ Nicholas J. Higham , Handbook of writing for the mathematical sciences, wyd. 2nd ed, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998, s. 25, ISBN 0-89871-420-6, OCLC 38992868 [dostęp 2021-02-19] .
- ↑ Kenneth E. Iverson , A programming language, New York 1962, s. 12, ISBN 0-471-43014-5, OCLC 523128 [dostęp 2021-02-19] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Integer Part, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
- Integral part (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
- Floor function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].