Filtracja (matematyka)

Definicja intuicyjna

Filtracja w matematyce to uporządkowany zestaw obiektów, w którym kolejne obiekty zawierają w sobie poprzednie

Filtracja – rodzina podstruktur (np. podzbiorów, podciągów, podgrup itp.) pewnej ustalonej struktury (zbioru, ciągu, grupy, itd.), indeksowana z wykorzystaniem uporządkowanego liniowo zbioru indeksów, w której podstruktury o dalszych (większych) indeksach zawierają te o wcześniejszych (mniejszych).

Ścisła definicja zależy od kontekstu i dziedziny matematyki, w której pojęcie to jest rozważane; zawsze jednak podstruktury tworzą łańcuch. Pojęcie filtracji znajduje zastosowanie między innymi w teorii miary i teorii prawdopodobieństwa oraz w algebrze (topologii algebraicznej).

Niekiedy rozszerza się pojęcie filtracji na filtracje nierosnące, o odwrotnym kierunku, to znaczy takie, w których podstruktury o dalszych (większych) indeksach są zawarte w tych o wcześniejszych (mniejszych) indeksach. W takiej sytuacji filtracja zdefiniowana w pierwszym akapicie nazywana jest niemalejącą.

Za przykład niemalejącej filtracji może posłużyć rodzina ciągów Fareya, w której ciąg rzędu $k$ zawiera wszystkie elementy ciągu $k-1$:

${\mathcal {F}}_{1}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}}\right)$;

${\mathcal {F}}_{2}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}}\right)$;

${\mathcal {F}}_{3}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}}\right)$;

${\mathcal {F}}_{4}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{1}}\right)$;

${\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)$; ...

Probabilistyka

Przedstawione definicje wykorzystywane w rachunku prawdopodobieństwa, wykorzystując pojęcia teorii miary, uogólniają się mutatis mutandis na przestrzenie mierzalne/z miarą.

Niech $T$ oznacza pewien uporządkowany liniowo zbiór indeksów (zwykle przedział $[0,\infty ]$), w tym wypadku interpretowany zwykle jako czas. Filtracją przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ nazywa się niemalejącą rodzinę σ-ciał $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ zawartą w ${\mathcal {F}},$ tzn.

${\mathcal {F}}_{s}\subseteq F_{t}\subseteq {\mathcal {F}}$ dla $s\leqslant t$ oraz $s,t\in T.$

Zdarzenia z σ-ciała ${\mathcal {F}}_{t}$ można interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili $t$ przy czym, zgodnie z intuicją, dostępna wiedza rośnie z czasem (informacje w niej zawarte nie ulegają zmianie, ale stają się jedynie bardziej szczegółowe).

Jeśli $X=(X_{t})_{t\in T}$ jest procesem stochastycznym, to filtracją generowaną przez $X$ nazywa się rodzinę $\left({\mathcal {F}}_{t}^{X}\right)_{t\in T}$ daną wzorem

${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}\colon s\leqslant t),$

tzn. σ-ciało odpowiadające chwili $t$ jest generowane przez zdarzenia do chwili $t$ włącznie. Intuicyjnie filtracja zawiera wyłącznie informacje o samym procesie.

Proces $X=(X_{t})_{t\in T}$ jest zgodny z filtracją lub adaptowany do filtracji $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$, gdy dla wszystkich $t\in T$ zmienna losowa $X_{t}$ jest mierzalna względem ${\mathcal {F}}_{t}.$ Sam proces $X$ jest zgodny z $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathcal {F}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}$ dla $t\in T.$ Oznacza to, że proces jest zgodny z filtracją, gdy w danym momencie zawiera ona wszystkie informacje o przebiegu procesu (choć może zawierać też dodatkowe). W szczególności każdy proces jest zgodny z generowaną przez siebie filtracją.

Niech ${\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap \nolimits _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}.$ Filtracja ${\mathcal {F}}$ spełnia warunki zwykłe, gdy jest

• prawostronnie ciągła: dla każdego $t\in T$ zachodzi równość ${\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}$

oraz

• zupełna: dla dowolnego $t\in T$ przestrzeń probabilistyczna $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )$ jest zupełna, tj. prawdopodobieństwo $\mathbb {P}$ jest miarą zupełną w $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})$.

Algebra

Filtracją grupy $G$ nazywa się niemalejący (względem zawierania) ciąg jej podgrup, tzn.

$G_{i+1}\leqslant G_{i}\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),$

zwykle nazywa się ją ciągiem podgrup tej grupy. Jeśli każda podgrupa jest normalna w kolejnej,

$G_{i+1}\trianglelefteq G_{i}\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),$

to ciąg nazywa się ciągiem normalnym (podobnie gdy każda podgrupa jest charakterystyczna w kolejnej ciąg nazywa się charakterystycznym itd.). Najczęściej wymaga się jednak, by wszystkie były normalne w grupie $G,$ tj.

$G_{i}\trianglelefteq G\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),$

mówi się wtedy o ciągu podnormalnym podgrup grupy $G.$

Definicje te przenoszą się wprost na pierścienie (ciała), moduły, czy przestrzenie liniowe; w ostatnim przypadku filtracje znane są szerzej jako flagi, w pozostałych rozpatruje się również filtracje niemalejące (przytoczone definicje dla grup są przykładami filtracji nierosnących).