Podłoga i sufit: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Robot dodał uk:Ціла частина числа |
|||
Linia 129: | Linia 129: | ||
[[th:ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน]] |
[[th:ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน]] |
||
[[tr:Tam değer fonksiyonu]] |
[[tr:Tam değer fonksiyonu]] |
||
[[uk:Ціла частина числа]] |
|||
[[vi:Phần nguyên]] |
[[vi:Phần nguyên]] |
||
[[zh:高斯符號]] |
[[zh:高斯符號]] |
Wersja z 09:04, 31 sty 2013
Podłoga i sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.
Definicja
Podłoga, część całkowita, cecha lub entier (czyt. ãtié) liczby rzeczywistej , oznaczana , , lub to największa liczba całkowita nie większa od . Symbolicznie:
Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od . Liczbę tę oznaczamy symbolem . Symbolicznie:
Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej nazywa się liczbę . Oznacza się ją
Przykłady
- .
- .
- .
Nazwy
Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], dla cechy i {·} dla mantysy.
Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego . Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit). Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor
, druga zaś do ceil
tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.
Własności
Podłoga i sufit
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:
Ponadto
przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:
Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.
Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:
- ,
- .
Ponadto:
- ,
- dla dowolnego .
Część ułamkowa
Część ułamkowa należy zawsze do przedziału , tzn.
dla dowolnej liczby rzeczywistej
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako , gdzie jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.
Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym .
Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:
o ile funkcja jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.
Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.
Cecha i mantysa logarytmu
Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:
- Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
- Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku "−" (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).
Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału .
Przykłady
Mantysa logarytmów liczb postaci (gdzie jest całkowite) wynosi , np.:
Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.: