Filtracja (matematyka)

Filtracja – pojęcie w matematyce oznaczające indeksowaną rodzinę podstruktur ustalonej struktury, gdzie rodzina indeksów jest uporządkowana liniowo a podstruktury są rosnące (wraz ze wzrostem indeksów). Ścisłe sformułowanie definicji zależy od kontekstu i dziedziny matematyki w której pojęcie to jest rozważane.

Teoria miary

W teorii miary, filtracją nazywamy niemalejącą rodzinę $\sigma$-ciał $(F_{t})_{t\in \tau }$, tzn. $F_{s}\subset F_{t}\subset F$ dla $s<t$ oraz $s,t\in \tau$.

Czasem mówi się, że filtracja spełnia tzw. warunki zwykłe.

Definicja

Filtracja $F$ spełnia warunki zwykłe, gdy jest prawostronnie ciągła, tzn. dla każdego $t$ zachodzi równość $F_{t}=F_{t+}$, gdzie $F_{t+}=\bigcap _{t<s}F_{s}$, oraz jest zupełna, tzn. każde $\sigma$-ciało $F_{t}$ jest zupełne.

Teoria group

W teorii group, filtracja grupy G to malejący ciąg dzielników normalnych $G_{n}\vartriangleleft G$, $G_{n+1}\subseteq G_{n}$ (dla $n\in {\mathbb {N} }$).