Multiplicação

operação matemática
 Nota: "×" redireciona para este artigo. Para o pictograma que representa sexo/gênero, veja Símbolo de gênero.

Na matemática, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.[1] Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.[2]

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Propriedades

editar
  • Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto da operação. Assim, se  , logo  . Por exemplo:  .
  • Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se  , logo  . Por exemplo:  .
  • Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim,  .
  • Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim,  .
  • Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

 

 

 

 

 

Tomando   temos:

 

 

 

Distributividade da multiplicação de números naturais:

 

 

 

Notação

editar

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam "5 vezes 2":

 
 
 
 

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

  e  

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como  . Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como  .

De forma alternativa, assim como na adição, o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto chamado produtório Π, que é a letra pi maiúscula do alfabeto grego.

Isto é definido como:

 

O subscrito é uma variável muda (  no nosso caso), o limite inferior é ( ) e o limite superior é  

Assim por exemplo:

 

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima pelo símbolo para infinito ( ). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos   primeiros termos, quando   cresce sem limite. Isto é:

 

Podemos de forma semelhante substituir   por infinito negativo, e

 

para algum inteiro   desde que o limite exista.

Indeterminações

editar

Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:

  •  
  •  
  •  

Notas e referências

  1. Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. «Multiplicação: Como funciona e quando utilizar». UOL Educação. Consultado em 2 de maio de 2014 
  2. «NOVA ESCOLA - PLANO DE AULA - Multiplicação mental». Consultado em 18 de maio de 2009. Arquivado do original em 5 de abril de 2009