Desigualdade das médias

A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.

Mais precisamente falando, seja $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ um conjunto não vazio de números reais positivos então:

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$

onde $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$, veja somatório.

e $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}$, veja produtório.

Demonstração do caso n=2

Queremos mostrar que:

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}$

Como $x_{1}$ e $x_{2}$ são reais, temos:

$(x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0$

Expandindo, temos:

$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0$

Somando $4x_{1}x_{2}$, obtemos:

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

Assim:

$(x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}$

Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}$

A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:

${\frac {2}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

Multiplique ambos os lados por :$x_{1}x_{2}$:

${\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}$

E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:

${\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}={\frac {2}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}}={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}$

E o resultado segue.

Demonstração no caso $n=2^{k}$

Queremos a igualdade para $n=2^{k}$, com k inteiro positivo.

Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.

Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para $n=2^{k}$:

${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}={\frac {1}{2n}}\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right]$

Aplique a desigualdade da média com dois elementos:

${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right)}}$

Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:

${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}$

E assim, conclua:

${\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}$

E a primeira desigualdade segue pois $2n=2\cdot 2^{k}=2^{k+1}$

Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:

${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}={\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}$

${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}+{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}}$

${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}+\displaystyle \sum _{i=n+1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

${\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

E a segunda desigualdade segue.

Demonstração do caso geral

Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.

Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$

Escreva:

• $p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}$
• $q={\sqrt[{n-1}]{\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}$
• $r={\frac {n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}$

Queremos mostrar que $p\geq q\geq r$

Substitua $x_{n}=q\,$

${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq {\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}$

Observe que:

${\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{qq^{n-1}}}=q$

Assim temos, da primeira desigualdade:

${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq q$

Rearranjando, temos:

$p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\geq q$

A segunda desigualdade diz:

$q\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}$

O que equivale a:

$\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}\geq {\frac {n}{q}}$

ou:

$\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)\geq {\frac {n-1}{q}}$

Equivalente a:

$q\geq {\frac {n-1}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}=r$

O que completa a demonstração.

Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética

Se, na desigualdade de Cauchy fizermos $b_{1}=b_{2}=b_{3}=...=b_{n}=1$, ela assume a forma:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$≤$\scriptstyle {\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+...+{a_{n}}^{2}}}\scriptstyle {\sqrt {n}}$

Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por $n$.

Finalmente:

$\scriptstyle {\sqrt {\frac {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+...+{a_{n}}^{2}}{n}}}$≥${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}}$

Ver também

• Desigualdade