Desigualdade das médias: diferenças entre revisões
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A '''desigualdade das médias''' afirma que a [[média aritmética]] é maior ou igual à [[média geométrica]] e esta maior ou igual à [[média harmônica]]. |
A '''desigualdade das médias''' afirma que a [[média aritmética]] é maior ou igual à [[média geométrica]] e esta maior ou igual à [[média harmônica]]. |
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Mais precisamente falando, seja <math>\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}</math> um conjunto não vazio de números reais positivos então: |
Mais precisamente falando, seja <math>\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}</math> um conjunto não vazio de [[Número real|números reais]] positivos então: |
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:<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}</math> |
:<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}</math> |
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Somando <math>4x_1x_2</math>, obtemos: |
Somando <math>4x_1x_2</math>, obtemos: |
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:<math>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\geq 4x_1x_2</math> |
:<math>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\geq 4x_1x_2</math> |
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Assim: |
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:<math>(x_1+x_2)^2\geq 4x_1x_2</math> |
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Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a [[raiz quadrada]] e dividir por 2: |
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:<math>\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1x_2}</math> |
:<math>\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1x_2}</math> |
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A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como: |
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como: |
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Suponha então que a desigualdade é valida para um certo '''k''' positivo, escreva para <math>n=2^k</math>: |
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo '''k''' positivo, escreva para <math>n=2^k</math>: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i= \frac{1}{ |
:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i= \frac{1}{2n}\left[\sum_{i=1}^n x_i+\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right] </math> |
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Aplique a desigualdade da média com dois elementos: |
Aplique a desigualdade da média com dois elementos: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right)} </math> |
:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right)} </math> |
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E a segunda desigualdade segue. |
E a segunda desigualdade segue. |
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==Demonstração do caso geral== |
== Demonstração do caso geral == |
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Completaremos a [[demonstração]], mostrando que se a [[desigualdade]] for válida para '''n''' termos, então também é válida para '''n-1''' termos. |
Completaremos a [[demonstração]], mostrando que se a [[desigualdade]] for válida para '''n''' termos, então também é válida para '''n-1''' termos. |
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O que completa a demonstração. |
O que completa a demonstração. |
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==Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética== |
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Se, na [[Desigualdade de Cauchy-Schwarz|desigualdade de Cauchy]] fizermos <math>b_1=b_2=b_3=...=b_n=1</math>, ela assume a forma: |
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:<math>a_1+a_2+...+a_n</math>≤<math>\scriptstyle \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2}\scriptstyle \sqrt{n}</math> |
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:Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por <math>n</math>. |
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:<math>\scriptstyle \sqrt{\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2}{n}}</math>≥<math>{\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}}</math> |
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== |
== Ver também == |
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*[[Desigualdade]] |
*[[Desigualdade]] |
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⚫ | |||
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[[cs:Nerovnost aritmetického a geometrického průměru]] |
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[[de:Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] |
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[[en:Inequality of arithmetic and geometric means]] |
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[[fr:Inégalité arithmético-géométrique]] |
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[[he:אי-שוויון הממוצעים]] |
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[[hu:Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség]] |
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[[ko:산술 평균-기하 평균 부등식]] |
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[[pl:Nierówność Cauchy'ego o średnich]] |
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[[ru:Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим]] |
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[[vi:Bất đẳng thức Cauchy]] |
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[[zh:平均数不等式]] |
Edição atual tal como às 21h20min de 20 de maio de 2023
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Agosto de 2021) |
A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.
Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então:
onde , veja somatório.
e , veja produtório.
Demonstração do caso n=2
[editar | editar código-fonte]Queremos mostrar que:
Como e são reais, temos:
Expandindo, temos:
Somando , obtemos:
Assim:
Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:
Multiplique ambos os lados por ::
E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:
E o resultado segue.
Demonstração no caso
[editar | editar código-fonte]Queremos a igualdade para , com k inteiro positivo.
Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para :
Aplique a desigualdade da média com dois elementos:
Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:
E assim, conclua:
E a primeira desigualdade segue pois
Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:
E a segunda desigualdade segue.
Demonstração do caso geral
[editar | editar código-fonte]Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.
Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:
Escreva:
Queremos mostrar que
Substitua
Observe que:
Assim temos, da primeira desigualdade:
Rearranjando, temos:
A segunda desigualdade diz:
O que equivale a:
ou:
Equivalente a:
O que completa a demonstração.
Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética
[editar | editar código-fonte]Se, na desigualdade de Cauchy fizermos , ela assume a forma:
- ≤
- Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por .
- Finalmente:
- ≥