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Linha 41: |
Linha 41: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i= \frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^n x_i+\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right] </math> |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i= \frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^n x_i+\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right] </math> |
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Aplique a desigualdade da média com dois elementos: |
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Aplique a desigualdade da média com dois elementos: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n x_i \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right)} </math> |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right)} </math> |
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Agora, aplique a desigualdade para '''n''' elementos em cada um dos termos: |
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Agora, aplique a desigualdade para '''n''' elementos em cada um dos termos: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n x_i \ge \sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}} </math> |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}} </math> |
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E assim, conclua: |
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E assim, conclua: |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n x_i \ge \sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i} </math> |
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:<math>\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i} </math> |
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E a primeira desigualdade segue pois <math>2n=2\cdot 2^k=2^{k+1}</math> |
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E a primeira desigualdade segue pois <math>2n=2\cdot 2^k=2^{k+1}</math> |
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Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade: |
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Usemos o mesmo truque para demonstrar a segunda desigualdade: |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}=\sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}=\sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2}{\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2}{\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2}{\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}+\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}+\displaystyle\sum_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{x_i}} </math> |
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:<math>\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{x_i}} </math> |
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E a segunda desigualdade segue. |
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==Veja também== |
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==Veja também== |
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*[[Desigualdade]] |
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*[[Desigualdade]] |
A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.
Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então:
onde , veja somatório.
e , veja produtório.
Demonstração do caso n=2
Queremos mostrar que:
Como e são reais, temos:
Expandindo, temos:
Somando , obtemos:
Reagrupando:
Como são números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:
Multiplique ambos os lados por ::
E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:
E o resultado segue.
Demonstração no caso
Queremos a igualdade para , com k inteiro posivo.
Procederemos por indução em k:
O caso k=1, já foi demonstrado.
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para :
Aplique a desigualdade da média com dois elementos:
Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:
E assim, conclua:
E a primeira desigualdade segue pois
Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:
E a segunda desigualdade segue.
Veja também