Метод стрельбы: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Метки: ручная отмена через визуальный редактор |
||
(не показано 46 промежуточных версий 27 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений. |
'''Метод стрельбы''' (краевая задача) — [[численный метод]], заключающийся в сведении [[краевая задача|краевой задачи]] к некоторой [[задача Коши|задаче Коши]] для той же системы [[дифференциальные уравнения|дифференциальных уравнений]]. |
||
Суть: первое решение при последовательном изменении аргумента и повторении вычислений становится точнее |
|||
== Описание метода == |
|||
== Метод стрельбы для краевых задач == |
|||
Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида: |
|||
<i>система</i> |
|||
u'(x) = f(x, u, v) |
|||
v'(x) = g(x, u, v) |
|||
''система'' |
|||
<i>гран. условия</i> |
|||
a <= x <= b |
|||
φ(u(a), v(a)) = 0, ψ(u(b), v(b)) = 0. |
|||
<math>u'(x) = f(x, u, v)</math><br> |
|||
<h2>Алгоритм</h2> |
|||
<math>v'(x) = g(x, u, v)</math><br> |
|||
1. Выбирается произвольно условие <b>u(a) = η</b>. <br> |
|||
2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение φ(η, v(a)) = 0. |
|||
Определяем удовлетворяющее ему значение <b> v(a) = ζ(η)</b>. <br> |
|||
3. Возьмем значения <b>u(a) = η, v(a) = ζ</b> в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и проинтегрируем эту задачу Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге - Кутты). <br> |
|||
4. Мы получили решение u(x; η), v(x;η), зависящее от η как от параметра.<br><br> |
|||
''граничные условия'' |
|||
Значение ζ выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра η:<br> |
|||
<center><b> ψ с чертой (η) = ψ(u(b; η), v(b; η))</b>, </center> |
|||
не обратится в нуль.<br> |
|||
5. Надо каким-то образом способом менять параметр η, пока не подберем такое значение, для которого <b>ψ с чертой (η) ≈ 0</b> с требуемой точностью.<br> |
|||
<math>a \leqslant x \leqslant b</math><br> |
|||
Таким образом, <b>решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения ψ с чертой (η) = 0</b>. |
|||
<math>\varphi [u(a), v(a)] = 0</math><br> |
|||
<math>\psi [u(b), v(b)] = 0</math><br> |
|||
=== Алгоритм === |
|||
== Метод стрельбы для задач на собственные значения == |
|||
1. Выбирается произвольно условие <math>u(a)= \eta</math>. |
|||
2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение <math>\varphi (\eta, v(a)) = 0 </math>. |
|||
Определяем удовлетворяющее ему значение <math>v(a) = \zeta(\eta)</math>. |
|||
3. Выбираются значения <math>u(a) = \eta, v(a) = \zeta</math> в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты). |
|||
4. В итоге получается решение <math>u(x; \eta), v(x;\eta)</math>, зависящее от η как от параметра. |
|||
Значение <math>\zeta</math> выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра <math>\eta</math>: |
|||
<center><math> \tilde{\psi}(\eta) = \psi(u(b; \eta), v(b; \eta))</math>, </center> |
|||
не обратится в нуль. |
|||
5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого <math>\tilde{\psi}(\eta) \approx 0</math> с требуемой точностью. |
|||
Таким образом, '''решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения''' <math>\tilde{\psi}(\eta) = 0</math>.<ref>Калиткин Н. Н. Численные методы М.: Наука, 1978</ref> |
|||
=== Пример программы на языке Python === |
|||
<source lang="python3"> |
|||
import matplotlib.pyplot as plt |
|||
import numpy as np |
|||
a, b = 0.0, 1.0 |
|||
A, B = 1.0, np.e |
|||
n = 5 |
|||
h = (b - a) / n |
|||
D0, D1 = A + h, h |
|||
y = [[A, D0], [0, D1]] |
|||
def p(x): return 1 |
|||
def q(x): return 1 |
|||
def f(x): return 3 * (np.e **x) |
|||
def get_c1(): |
|||
global n |
|||
return (B - y[0][n]) / y[1][n] |
|||
def get_solv_y_i(i): return y[0][i] + get_c1() * y[1][i] |
|||
x = np.linspace(a, b, n+1) |
|||
def div(a, b): |
|||
return a / b |
|||
for i in range(1, n): |
|||
y[0].append( |
|||
div( |
|||
(h ** 2 * f(x[i]) - (1.0 - (h / 2) * p(x[i])) * y[0][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[0][i]), |
|||
1 + h / 2 * p(x[i]) |
|||
) |
|||
) |
|||
y[1].append( |
|||
div( |
|||
-(1 - h / 2 * p(x[i])) * y[1][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[1][i], |
|||
1 + h / 2 * p(x[i]) |
|||
) |
|||
) |
|||
plt.plot(x, [get_solv_y_i(i) for i in range(n + 1)]) |
|||
plt.show() |
|||
for i in range(n): |
|||
print(x[i], get_solv_y_i(i)) |
|||
</source> |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
{{rq|wikify|sources|img}} |
|||
[[Категория:Численные методы]] |
|||
[[Категория:Дифференциальные уравнения]] |
Текущая версия от 13:13, 29 апреля 2021
Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Суть: первое решение при последовательном изменении аргумента и повторении вычислений становится точнее
Описание метода
[править | править код]Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида:
система
граничные условия
Алгоритм
[править | править код]1. Выбирается произвольно условие .
2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение . Определяем удовлетворяющее ему значение .
3. Выбираются значения в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты).
4. В итоге получается решение , зависящее от η как от параметра.
Значение выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра :
не обратится в нуль.
5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого с требуемой точностью.
Таким образом, решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения .[1]
Пример программы на языке Python
[править | править код]import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
a, b = 0.0, 1.0
A, B = 1.0, np.e
n = 5
h = (b - a) / n
D0, D1 = A + h, h
y = [[A, D0], [0, D1]]
def p(x): return 1
def q(x): return 1
def f(x): return 3 * (np.e **x)
def get_c1():
global n
return (B - y[0][n]) / y[1][n]
def get_solv_y_i(i): return y[0][i] + get_c1() * y[1][i]
x = np.linspace(a, b, n+1)
def div(a, b):
return a / b
for i in range(1, n):
y[0].append(
div(
(h ** 2 * f(x[i]) - (1.0 - (h / 2) * p(x[i])) * y[0][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[0][i]),
1 + h / 2 * p(x[i])
)
)
y[1].append(
div(
-(1 - h / 2 * p(x[i])) * y[1][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[1][i],
1 + h / 2 * p(x[i])
)
)
plt.plot(x, [get_solv_y_i(i) for i in range(n + 1)])
plt.show()
for i in range(n):
print(x[i], get_solv_y_i(i))
Примечания
[править | править код]- ↑ Калиткин Н. Н. Численные методы М.: Наука, 1978
Для улучшения этой статьи желательно:
|