Метод стрельбы

Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений.

Суть: первое решение при последовательном изменении аргумента и повторении вычислений становится точнее

Сальмун-мальмун

Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида:

система

$~u'(x)=f(x,u,v)$кутак
$~v'(x)=g(x,u,v)$

граничные условия

$a\leqslant x\leqslant b$
$~\varphi [u(a),v(a)]=0$
$~\psi [u(b),v(b)]=0$

Алгоритм

1. Выбирается произвольно условие u (a) = η.

2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение φ(η, v(a)) = 0. Определяем удовлетворяющее ему значение v(a) = ζ(η).

3. Выбираются значения u(a) = η, v(a) = ζ в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты).

4. В итоге получается решение u(x; η), v(x;η), зависящее от η как от параметра.

Значение ζ выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра η:

${\tilde {\psi }}(\eta )=\psi (u(b;\eta ),v(b;\eta ))$,

не обратится в нуль.

5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого ${\tilde {\psi }}(\eta )\approx 0$ с требуемой точностью.

Таким образом, решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения ${\tilde {\psi }}(\eta )=0$.