Метод стрельбы

Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений.

Описание метода

Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида:

система

$~u'(x)=f(x,u,v)$
$~v'(x)=g(x,u,v)$

граничные условия

$a\leqslant x\leqslant b$
$~\varphi [u(a),v(a)]=0$
$~\psi [u(b),v(b)]=0$

Алгоритм

1. Выбирается произвольно условие u(a) = η.

2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение φ(η, v(a)) = 0. Определяем удовлетворяющее ему значение v(a) = ζ(η).

3. Выбираются значения u(a) = η, v(a) = ζ в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты).

4. В итоге получается решение u(x; η), v(x;η), зависящее от η как от параметра.

Значение ζ выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра η:

ψ с чертой (η) = ψ(u(b; η), v(b; η)),

не обратится в нуль.

5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого ψ с чертой (η) ≈ 0 с требуемой точностью.

Таким образом, решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения ψ с чертой (η) = 0.