《數學》嘅修訂比較

'''數學'''（{{jpingauto|so͏uso͏u3 ho̱khok6}}；[[希臘語]]：{{lang-gr|'''μάθημα'''}}，{{lang|la|''máthēma''}}，{{lang-en|'''mathematics'''}}，簡寫 {{lang|en|'''maths'''}}），香港嘅[[廣東話]]用語興嗌做「 '''mēt sí」'''（[[借詞|係將英文簡寫maths拉長嚟讀]]），係研究[[數量]]、[[變化]]、[[數學結構|結構]]、[[空間 (數學)|空間]]、同埋[[數學模型|模型]]等概念嘅一門學科<ref name="whatismaths">[https://www.livescience.com/38936-mathematics.html What is Mathematics?]</ref>。現代嘅[[數學家]]一般都會用[[數學語言]]嚟去表達一啲[[命題]]（proposition），例如係以下噉：

:<math> x^2 +y^2 = Rr^2 </math> （[[圓形]]方程式）

同[[自然語言]]（natural language，language）{{Notetag|即係好似廣東話粵語同英國話文呢啲日常傾偈用嘅語言）}}唔同，數學語言係為咗將諗法公式化而整出嚟嘅，所以佢好嚴謹，個個符號同字詞都有精確嘅[[定義]]－唔似得自然語言噉啲字好多時有得睇情況有好多個唔同嘅解法。數學家嘅目標係運用呢種語言嚟闡述一啲關係（數量關係、結構關係、前後變化關係），並且透過對現實世界嘅觀察、呢啲觀察嘅[[廣義化]]（generalization）、同埋邏輯推理嚟去產生啲新嘅知識<ref>Mura, R. (1993). Images of mathematics held by university teachers of mathematical sciences. ''Educational Studies in Mathematics'', 25(4), 375-385.</ref><ref>Courant, R., Robbins, H., & Stewart, I. (1996). ''What is Mathematics?: an elementary approach to ideas and methods''. Oxford University Press, USA.</ref>。每一門嘅數學都會靠一啲[[公理]]（axiom）－指啲「不證自明嘅真理」－嚟去做推論。佢哋希望用呢啲所有學者都接受嘅公理嚟證明一啲新知識<ref name="whatismaths"/><ref>[http://world.mathigon.org/Axioms_and_Proof Axioms and Proof]</ref>－數學同實證科學唔同：實證科學係靠揾大量嘅現實事例（做實驗或者觀察）做證據嚟去支持或者否決邊個邊個理論，而數學就係靠推理嘅方法嚟去[[證明]]（prove）一啲真理－唔使用任何現實事例。

喺[[歐洲]]眾[[語言]]入面，「數學」（{{lang-en|Mathematics}}；[[法國話文]]：Mathématiques；[[希臘話文]]：μαθηματικά）呢個詞語係嚟自[[古希臘話文]]嘅「{{lang|el|μάθημα}}」（{{lang|la|máthēma}}）。呢個字有「學習」、「學問」呢類嘅意思，同埋另外仲有個狹義啲嘅意思係指「數學研究」。呢個希臘詞仲有個形容詞版「 {{lang|el|μαθηματικός}}」（{{lang|la|mathēmatikós}}），意思係「同學習有關嘅」或者係「勤力嘅」噉解，亦都會俾人用嚟指「數學嘅」。佢喺英國話文表面上嘅複數形式，同喺法國話文入面嘅表面複數形式 「{{lang|fr|les mathématiques}}」，有得追溯到[[拉丁話文]]（[[古羅馬]]嘅語言）嘅中性複數「 {{lang|la|mathematica}}」，由羅馬哲學家[[西塞羅]]（Cicero）由希臘話文嘅複數「{{lang|el|τα μαθηματικά}}」（{{lang|la|ta mathēmatiká}}）譯過嚟。呢個希臘話文嘅詞亦都俾[[畢達哥拉斯]]（Pythagoras）用嚟講「萬物皆數」嘅概念<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic Mathematic - Online Etymology Dictionary]</ref>。

[[中文]]入面「數學」呢個詞大約產生響喺[[趙宋]]（10 至 13 世紀）同[[大元]]（13 至 14 世紀）時期產生，而現代嘅各種唐話漢語（包括廣東話粵語、[[官話]]、同[[閩南話]]等）嘅詞語「數學」亦都有可能係源自於日文喺[[明治維新]]（19 世紀尾橛）嗰時嘅翻譯。呢兩個[[漢字]]喺廣東話粵語入面嘅讀音係「{{jpingauto|sou3 hok6}}」。

數學語言唯一嘅唔好處係佢哋同自然語言好唔同，搞到啲初學者成日俾佢哋嚇親<ref>Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live cow chewing its cud in a pasture and equate it with the letters c–o–w on the page. But you can't point to a real live plus sign that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more abstract."</ref>。例如「或」（Or）同「只」（Only if）呢啲詞比用嚟做日常用語嗰陣精確好多<ref>Oakley 2014, p. 16: "By encryptedness, I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."</ref>，而且數學語言入面有好多例如「[[開集]]」（Open set）、「[[域場 (代數學結構)|域場]]」（Field）呢啲喺數學入面有特別意思嘅詞。[[數學術語]]亦都包括「[[同胚]]」（Homeomorphism）、「[[可積性]]」（Integrable）等嘅專有名詞。但係用呢啲特別符號同術語係有原因嘅：數學需要精確過日常用語好多，數學家將呢種對語言同邏輯精確性嘅要求稱之為「嚴謹」（Rigor）。

如果一個數係雙數，噉佢一定會係 2 嘅倍數（公理雙數嘅定義），所以：

:Let設 <math>x=2a</math>，<math>y=2b</math>，而 <math>a,b</math> 係某啲整數。

<math>2(a+b)</math> 呢個數好明顯根據定義就係 2 嘅倍數－噉，即係佢一定係一個雙數，所以 <math>x+y</math> 係一個雙數。

...等等。

數學本嚟係由測量土地、商業上嘅計算、同埋預測天文事件呢啲實際嘅需要度產生嘅。呢啲嘢大致上要用到數量、結構、空間、同變化呢柞概念，亦都同算術、代數、幾何學同數學分析呢啲數學子領域有直接關連。除咗噉，數學亦都有啲用嚟探索數學核心同其他領域之間嘅關係嘅子領域：好似係數理邏輯、集合論、唔同科學上用到嘅數學（即係所高謂嘅應用數學）、仲有近代啲嘅[[不確定性原理|不確定性]]研究。

數學嘅研究起源於[[數]]（Number）－一柞用嚟數嘢度嘢嘅[[數學物體]]。一開始嗰陣數學家研究嘅得可以用嚟數物件嘅[[自然數]]（Natural number）同[[整數]]，仲有係呢兩種數嘅[[算術]]運算（即係[[加法|加]][[減法|減]][[乘法|乘]][[除法|除]]）。[[數論]]（Number theory）成為咗數學入面嘅一個大領域。佢詳細噉研究整數更深層嘅性質，描述數嘅種種特性，例如係[[費馬最後定理]]（Fermat's Last Theorem）就係數論裏面一個出名嘅定理，佢指明咗如果 {{math|''n''}} 大過 2 ，世界上冇任何三個非零整數（暫且嗌佢哋做 {{math|''a''}} 、 {{math|''b''}} 、同 {{math|''c''}} ）可以滿足 {{math|1=''a''^''n'' + ''b''^''n'' = ''c''^''n''}} 呢條式<ref>[http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html Fermat's Last Theorem]</ref>－數學家用咗好耐先至證明到佢，令到數學家證明到佢嗰陣好有成功感。除咗噉，數論仲包括咗啲仲係俾數學家探討緊嘅未解問題，好似係[[孿生質數猜想]]（Twin prime conjecture）噉。

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[[高德菲•·哈羅德•·哈代]]（G. H. Hardy）喺佢篇文《A Mathematician's Apology》（個名直譯係「一個數學家嘅辨白」）度話佢所相信嘅美學思維足夠令佢想研究純數學。

[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|240px|高斯]]

好多學者仲喺度詏緊數學係咪應該俾人分類做[[科學]]嘅一門。[[高斯]]（Gauss；18 世紀嘅[[德國]]數學家）嗌數學做「科學之母」<ref>[http://www.amt.edu.au/bioggauss.html Carl Friedrich Gauss (1777-1855)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170827142023/http://www.amt.edu.au/bioggauss.html |date=2017年8月27號 }}.</ref>：佢[[拉丁話文]]嘅原文係 ''{{lang|la|Regina Scientiarum}}''，而[[德國話文]]係 ''{{lang|de|Königin der Wissenschaften}}''（直譯係「科學嘅皇后」），其中對應「科學」嘅單字「Scientia」意思係「知識」噉解。事實上，科學個英文名「Science」本嚟係呢個意思，而且好明顯數學喺呢個定義之下的確係一門「科學」－而將「科學」呢個詞重新定義做淨係指「自然科學」係 18 世紀打後先有嘅事，而喺呢個新定義之下，純粹數學唔算係一門科學。

但係就算將「科學」定義做自然科學，數學同科學依然係有好密切嘅關係<ref name="einstein28">愛因斯坦，第28頁。愛因斯坦對問題嘅解答敘述：{{lang|en|"how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?"}} 佢亦都關心數學喺自然科學中超出想像嘅有效性。</ref>：[[直覺]]同[[實驗]]喺數學同科學嘅猜想建構上都扮演住重要嘅角色。而到咗廿一世紀，[[實驗數學]]（Experimental mathematics）－一啲用實驗嚟研究數學嘅學問－喺數學界入面嘅重要性持續噉增加緊，而且[[電腦運算]]同模擬喺科學同數學度嘅重要性亦越嚟越勁。[[史蒂芬•·沃爾夫勒姆]]（Stephen Wolfram） 2002 年喺佢本書《A New Kind of Science and a New Kind of Science Explorer》（個名直譯係「一種新科學同一種新嘅科學探索者」）入面提出，計算數學應該被視為一個獨立科學領域嚟探索。另一種觀點認為某啲所謂嘅「科學」領域（例如[[理論物理]]）係數學嘅領域，只不過係佢哋柞公理嘗試符合現實。好似係廿世紀嘅物理學家[[歐拔·愛因斯坦]]（Albert Einstein）就曾經噉樣講：「數學定律越係同現實有啦更，就越唔確定；而佢哋越係確定，就越係同現實唔啦更。」<ref name="einstein28"/>

雖然係噉，數學係咪有[[可否證性]]係一個好緊要嘅議題。「可否證性」係指一句命題有冇得透過對現實嘅實驗或者觀察嚟驗證，而[[卡爾•·波普爾]]（Karl Popper）同絕大多數其他[[科學哲學]]家都堅持認為一定要有可否證性先算係科學<ref>Popper, K. (2005). ''The logic of scientific discovery''. Routledge.</ref>。問題係，好多哲學家都覺得數學冇可否證性<ref>Shasha, D., & Lazere, C. (1998). ''Out of their minds: the lives and discoveries of 15 great computer scientists''. Springer Science & Business Media.</ref>，所以唔係一門科學。喺 1930 年代嗰陣，數理邏輯嘅重大進展又顯示咗數學唔可以併入去邏輯學嗰度，而且波普爾推斷「大部份嘅數學定律，好似物理同生物學噉，係假設演繹嘅：純數因此變到更加接近將猜測作為假設嘅自然科學，比佢而家睇起嚟更接近。」<ref>Popper (1995), p. 56.</ref> 其他思想家，譬如係出名嘅[[拉卡托斯]]（Imre Lakatos），都有提供一啲關於數學本身係咪有可否證性嘅討論。

* [[菲爾茲獎]]（Fields Medal），由[[國際數學聯盟]]（International Mathematical Union）嘅[[國際數學家大會]]（International Congress of Mathematicians）頒發嘅獎。每四年頒獎一次，頒俾啲有卓越貢獻嘅後生數學家，每次最多四個人攞獎。得獎者要喺嗰年元旦前未滿四廿歲。佢係根據[[加拿大]]數學家[[約翰•·查理斯•·菲爾茲]]（John Charles Fields）嘅要求而設立。菲爾茲獎俾人覺得係數學界嘅[[諾貝爾獎]]。

* 除咗呢啲，數學界仲有啲公認等人解嘅大問題。好似係出名嘅[[希爾伯特嘅 23 個條問題]]（Hilbert's problems），喺 1900 年由德國數學家[[大衛•·希爾伯特]]（David Hilbert）提出。佢哋係一啲未俾人解決嘅大問題，喺數學家之中有好高嘅名望－如果有數學家解得到佢就會即刻出位。到咗而家，佢哋當中有超過九個問題已經俾人解咗。另一組新嘅七個重要問題－千禧年大獎難題－喺 2000 年發表。每一個問題答到都會有成一百萬[[美元]]嘅獎金，而佢哋當中淨係得一個問題（[[黎曼猜想]]；Riemann hypothesis）同希爾伯特嘅問題重複。

數學有好長歷史<ref>Smith, D. E. (1958). ''History of mathematics'' (Vol. 1). Courier Corporation.</ref>。[[史前史|史前]]嘅人類就喺度試緊用自然嘅法則嚟衡量物質嘅多少、時間嘅長短呢類抽象數量，例如度[[時間]]就有[[日 (曆法)|日]]、[[季節]]、同[[年]]呢啲。冇幾耐算術亦都好自然出現咗。古代嘅石碑亦表示嗰時嘅人經已有些少幾何學知識。喺打後嘅有歷史時代，數學係為咗[[文明]]早期嗰陣嘅生產活動而誕生嘅－包括[[稅|稅務]]同[[貿易]]嘅實用計算、[[土地測量|測量土地]]、同埋預測[[天文學|天文事件]]呀噉－呢啲需要可以簡單噉概括為早期數學對數量、結構、空間、同埋時間方面嘅研究。嗰時嘅人亦都有咗啲記數嘅架生，例如[[符木]]、或者響[[印加帝國]]（Inca Empire）入面用嚟儲存數據嘅[[奇普]]（Quipu）－唔同文明都有各自嘅[[記數系統]]。另一方面，古人都有啲對純數學嘅研究：古代[[中原]]嘅[[六藝]]之一就有「數」呢一門<ref>《周禮•·地官司徒•·保氏》：「保氏掌諫王惡而養國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。」東漢嘅鄭玄喺佢嘅《周禮註疏•·地官司徒•·保氏》中引鄭司農（鄭眾）所講：「九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程式、贏不足、旁要（「九數」亦係《[[九章算術]]》嘅九個篇章），今有重差、夕桀、勾股也。」</ref>。而「Mathematics」呢個詞響[[歐洲]]有[[希臘話文]]詞源 {{lang|el|μαθηματικός}}（mathematikós）－呢個字意思係「學問嘅基礎」噉解，源於 {{lang|el|μάθημα}}（máthema；「知識、學問」）－古希臘人已經有啲數學概念。

== 攷註 ==

{{reflist|3NoteFoot}}

== 參考資料 ==

| authorlink = 歐拔·愛因斯坦