量子測量

在量子力學之中，所謂的「測量」需要有較嚴謹的定義，而特別稱之為量子測量。量子测量不同于一般经典力学中的测量，量子测量会对被测量子系统产生影响，比如改变被测量子系统的状态；处于相同状态的量子系统被测量后可能得到完全不同的结果，这些结果符合一定的概率分布。量子测量是量子力学解释体系的核心问题，而量子力学的解释目前还没有统一的结论。

量子測量的數學形式

与经典物理中的测量不同，量子测量不是独立于所观测的物理系统而单独存在的，相反，测量本身即是物理系统的一部分，所作的测量会对系统的状态产生干扰。

一般形式：量子公设III

量子公设的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合$\{M_{m}\}$来表示，它作用在系统的状态空间上。测量算符$M$的序列号$m$表示测量所得出的不同结果。如果系统在测量前处于状态$|\psi \rangle$，那么测量后得到结果m的概率是：

$p(m)=\langle \psi |M_{m}^{\dagger }M_{m}|\psi \rangle$

测量后系统的状态变为：

${\frac {M_{m}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{m}^{\dagger }M_{m}|\psi \rangle }}}$

测量算符必须满足以下的完备性条件：

$\sum _{m}M_{m}^{\dagger }M_{m}=I$

上述完备性条件与下式等价，即完备性条件决定了测量得到各个结果的概率和为1：

$1=\sum _{m}p_{m}=\sum _{m}\langle \psi |M_{m}^{\dagger }M_{m}|\psi \rangle$

射影测量

射影测量（projective measurement）是一般形式量子测量的一个特例，即测量算子集合是一组射影算子$\{P_{m}\}$的情况，值得注意的是很多介绍量子力学的书比如Griffiths (2005)只介绍射影测量，这种测量结合量子系统的演化（evolution）与一般形式测量等价。对于射影测量，可以定义可观测量（observable）$M$使得

$M=\sum _{m}mP_{m}$

其中的射影算子$P_{m}$的定义为：

$P\equiv \sum _{i=1}^{k}|i\rangle \langle i|$

$\{|i\rangle \}$构成被测量子系统状态空间的某个子空间$W$的一组基向量，射影算子$P$可以将一个状态向量投影到该子空间$W$，因此得名射影算子。显然射影算子有以下性质：

$P_{m}^{\dagger }P_{m}=P_{m}^{2}=P_{m}$

于是射影测量测得结果$m$的概率为：

$p(m)=\langle \psi |P_{m}|\psi \rangle$

测量后量子系统的状态为

$|\psi ^{'}\rangle ={\frac {P_{m}|\psi \rangle }{\sqrt {p(m)}}}$

射影测量的结果的平均值一般计为：

${\begin{aligned}\langle M\rangle &=\sum _{m}mp(m)\\&=\langle \psi |(\sum _{m}mP_{m})|\psi \rangle \\&=\langle \psi |M|\psi \rangle \end{aligned}}$

示例

一个量子比特$|\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$被$\{M_{m}\}=\{M_{0},M_{1}\}$测量，所谓量子比特可以认为是一个二维量子系统的状态，比如一个光子的极化状态。

$M_{0}=|0\rangle \langle 0|;M_{0}^{\dagger }M_{0}=M_{0}$

$M_{1}=|1\rangle \langle 1|;M_{1}^{\dagger }M_{1}=M_{1}$

$I=|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

$p(0)=\langle \psi |M_{0}^{\dagger }M_{0}|\psi \rangle =\langle \psi |M_{0}|\psi \rangle =\langle \psi |0\rangle \langle 0|\psi \rangle =|a|^{2}$

$p(1)=|b|^{2}$

测量得到0和1的概率分别是$|a|^{2}$和$|b|^{2}$，而

$1=\langle \psi |\psi \rangle =|a|^{2}+|b|^{2}$

即概率和为1

${\frac {M_{0}|\psi \rangle }{|a|}}={\frac {a}{|a|}}|0\rangle$

${\frac {M_{1}|\psi \rangle }{|b|}}={\frac {b}{|b|}}|1\rangle$

可以发现测量后，系统的状态要么变成${\frac {a}{|a|}}|0\rangle$要么变成${\frac {b}{|b|}}|1\rangle$，而对于量子力学来说，量子状态的相位是没有意义的，因而系统的状态在测量之后不是$|0\rangle$就是$|1\rangle$，即投影到了基向量$|0\rangle$或$|1\rangle$构成的状态空间中去，显然${|0\rangle }$或$|1\rangle$只能构成一个一维状态空间。

一般来讲测量不是幺正算符，而是从系统里获取信息的一个过程。

可測量的量值（「物理量」）作為算符

量子力學中，可觀測量在數學上常以厄米算符（Hermitian）或自伴算符來表示。此算符的本徵值集合代表測量可能結果的集合。對於每個本徵值而言，存在有一個對應的本徵態（或本徵向量），其為系統在測量之後的狀態。這種表徵具有一些特質：

1. 厄米矩陣的本徵值是實數。一個測量的可能結果恰好是給定的可觀測量的本徵值。
2. 一個厄米矩陣可以么正式地對角化（參見譜定理（Spectral theorem）），產生了本徵向量的一組正交歸一基，可以架構出系統的態空間。一般來說，系統的狀態可以寫為任何厄米算符的線性組合。如此在物理上的意義即為任何狀態可以表示為一可觀測量其本徵態的疊加。

重要的例子有：

• 哈密頓算符，代表系統的總能量；非相對論性的特例為：${\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+V({\hat {x}})$.
• 動量算符：${\hat {p}}={\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$（以位置基底表示。）
• 位置算符：${\hat {x}}={-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}$（以動量基底表示。）

算符可以是非對易性（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的歸一化的本徵向量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為「不相容」(incompatible）而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過海森堡不確定原理來描述。

參見

• 測量相關問題與悖論
  • 莫特問題
  • 波函數縮併
• 量子力學形式
  • 狄拉克標記

参考文献

• [A. Nielsen]; [L. Chuang]. Quantum Computation and Quantum Information [量子计算与量子信息]. 剑桥大学出版社. 2010. ISBN 978-1-107-00217-3 （英语）. 
• Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics [量子力学引论]. 培生普伦蒂斯·霍尔出版社. 2005. ISBN 9780131118928 （英语）. 

外部連結

• 史丹福大學哲學資料庫——量子理論中的測量