可定义数：修订间差异

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2020年9月21日 (一) 17:52的版本

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

可定义数（英語：definable number）是指能够以有限的文字描述出来的数。自然数、有理数、代数数、圆周率等都有明确的定义，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有的数都是可定义的，因为它们都已经被我们描述出来了。

但并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来，因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的（虽然有无穷多）（枚舉的方式為：使用英文字串表示數字，例如247可以是「Two hundred and forty-three」，根號2可以是「The square root of 2」，圓周率可以是「The ratio of a circle's circumference to its diameter」。用英文描述數字時離不開ASCII的範圍，而ASCII中的字元是從編號32到126，並且編號32（空白鍵）不會在第一個字元，所以就把這個英文字串看成95進制的數字，ASCII中編號n的字元當作數位（n−32），類似哥德爾數的概念，把可定義數和一個很大的正整數做對應），也就是說，可定義數的集合是可數集。而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinable number）。由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数。但是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体例子来。

参考文献

matrix67. 比根号2更“无理”的数.

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 {{Numbers}}
 '''可定义数'''（{{lang-en|definable number}}）是指能够以[[有限]]的[[文字]]描述出来的[[数]]。[[自然数]]、[[有理数]]、[[代数数]]、[[圆周率]]等都有明确的[[定义]]，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有的数都是可定义的，因为它们都已经被我们描述出来了。
+但并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来，因为长度有限的文字段落是可以逐一[[枚举]]的（虽然有[[无穷多]]）（枚舉的方式為：使用英文字串表示數字，例如[[247]]可以是「Two hundred and forty-three」，[[根號2]]可以是「The square root of 2」，[[圓周率]]可以是「The ratio of a circle's circumference to its diameter」。用英文描述數字時離不開[[ASCII]]的範圍，而ASCII中的字元是從編號32到126，並且編號32（空白鍵）不會在第一個字元，所以就把這個英文字串看成95[[進位制|進制]]的數字，ASCII中編號n的字元當作數位（n−32），類似[[哥德爾數]]的概念，把可定義數和一個很大的正整數做對應），也就是說，可定義數的集合是[[可數集]]。而全体[[实数]]是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做'''不可定义数'''（{{lang|en|undefinable number}}）。由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数。但是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式[[证明]]不可定义数的[[存在性]]，但却永远没法找出一个具体例子来。
 == 参考文献 ==