평사 투영

구 아래 평면에 대한 북극에서 입체 투영의 3D 그림

수학에서 평사 투영이란 구의 특정 점 (투영의 극 또는 중심)을 통해 그 점을 지나 지름에 수직한 평면(투영면)에 구를 투영하는 원근 투영 방식이다. 이는 투영 중심을 제외한 구 전체를 평면에 매끄럽운 전단사 함수이다. 구에 있는 원은 평면의 원이나 선(원곡선)으로 매핑되며, 각도를 보존하는 등각성을 가지고 있어 곡선이 만나는 각도를 유지하며 국소적으로 도형의 형태를 거의 그대로 유지한다. 그러나 평사 투영은 거리를 보존하는 아이소메트릭(등거리성)도, 면적을 보존하는 등적 투영도 아니다.

입체 투영은 구를 평면으로 표현할 수 있는 방법을 제공한다. 평면에서 구로의 역입체 투영에 의해 유도된 메트릭(거리 측정법)은 평면의 점들 사이의 측지 거리가 구에서 해당하는 점들 사이의 구형 거리와 동일하다는 것을 나타낸다. 입체 투영 평면에서의 2차원 데카르트 좌표계는 구면 극좌표나 3차원 데카르트 좌표계 대신 구면 해석 기하학을 수행할 수 있는 대안이다. 이는 쌍곡평면의 푸앵카레 원판의 구형 유사체이다.

직관적으로 설명하자면, 입체 투영은 몇 가지 불가피한 타협을 통해 구를 평면으로 묘사하는 방법이다. 구와 평면이 수학 및 그 응용 분야의 다양한 곳에 등장하듯이, 입체 투영도 마찬가지이다. 입체 투영은 복소 분석, 지도 제작, 지질학, 사진 등 다양한 분야에서 사용된다. 입체 투영 계산은 스테레오넷(stereographic net, stereonet) 또는 울프넷(Wulff net)이라고 불리는 특수한 종류의 그래프 용지 위에 표현된다.