Lognormale verdeling

kansverdeling

In de kansrekening is de lognormale verdeling de kansverdeling van een stochastische variabele waarvan de logaritme normaal verdeeld is. Als de stochastische variabele normaal verdeeld is, heeft de stochastische variabele dus een lognormale verdeling. In de statistiek wordt een lognormale verdeling gebruikt om een variabele te modelleren die kan worden gezien als het multiplicatieve resultaat van een aantal kleine, onafhankelijke factoren.

Lognormale verdeling
Kansdichtheid
Kansdichtheidsfunctie van de lognormale verdeling
μ=0
Verdelingsfunctie
Cumulatieve distributiefunctie van de lognormale verdeling
μ=0
Parameters
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Entropie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

Definitie

bewerken

De lognormale verdeling is de kansverdeling met als kansdichtheid, gedefinieerd voor  ,

 .

Hierin stellen de parameters   en   respectievelijk de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de natuurlijke logaritme van de betrokken variabele voor. De verdelingsfunctie is

 

Hoewel alle momenten bestaan en gegeven worden door

 ,

bestaat de momentgenererende functie zelf niet.

Notatie

bewerken

Als de toevalsvariabele   lognormaal verdeeld is, noteert men dit wel als  .

Eigenschappen

bewerken

Laat   een lognormaal verdeelde toevalsvariabele zijn. Dan is de verwachtingswaarde gelijk aan

 .

De variantie is

 

Overige eigenschappen, zoals modus, mediaan en scheefheid, staan in de tabel rechtsboven.

Inderdaad is de stochastische variabele   normaal verdeeld, immers:

 ,

dus de dichtheid van   is:

 .


Gerelateerde verdelingen

bewerken
  • Als   dan  .
  • Als  , met m = 1, .., n onafhankelijke lognormaal verdeelde stochasten, met dezelfde waarde μ, zijn en  , dan volgt Y een lognormale verdeling:  .
bewerken