Przejdź do zawartości

Suma Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą pierwszą, zaś liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

gdzie

Dla niepodzielnych przez (w przeciwnym wypadku suma jest równa ) równoważnie można ją zapisać jako

gdzie jest symbolem Legendre’a.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie
  • Dokładna wartość wyliczona przez Gaussa wynosi
  • Dowód tego, że wartość bezwzględna wynosi jest prosty:

gdyż

  • Ogólnie dla dowolnej sumy gdzie jest liczbą całkowitą, zachodzi

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.