Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.
Diagrama de um sistema biela manivela
l = comprimento da biela
r = raio do eixo de manivelas (metade do curso)
Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro
x = Posição do pistão
v = Velocidade do pistão
a = Aceleração do pistão
ω = Velocidade angular do eixo de manivelas
Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.
A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):
ω
=
2
π
⋅
R
P
M
60
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi \cdot RPM}{60}}}
A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:
l
2
=
r
2
+
x
2
−
2
r
x
cos
θ
{\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta }
x
2
−
2
x
r
cos
θ
+
(
r
2
−
l
2
)
=
0
{\displaystyle x^{2}-2xr\cos \theta +(r^{2}-l^{2})=0}
Fazendo
y
=
r
cos
θ
{\displaystyle y=r\cos \theta }
z
=
(
r
2
−
l
2
)
{\displaystyle z=(r^{2}-l^{2})}
temos:
x
2
−
2
x
y
+
z
=
0
{\displaystyle x^{2}-2xy+z=0}
Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:
x
=
r
cos
θ
+
l
2
−
r
2
sin
2
θ
{\displaystyle x=r\cos \theta +{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta }}}
expressando em termos da velocidade angular, temos:
θ
=
ω
t
{\displaystyle \theta =\omega t}
x
=
r
cos
(
ω
t
)
+
l
2
−
r
2
sin
2
(
ω
t
)
=
r
[
cos
(
ω
t
)
+
(
l
r
)
2
−
sin
2
(
ω
t
)
]
{\displaystyle x=r\cos {(\omega t)}+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r\left[\cos {(\omega t)}+{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}(\omega t)}}\right]}
A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:
v
=
d
x
d
t
=
−
r
ω
sin
(
ω
t
)
[
1
+
cos
(
ω
t
)
(
l
r
)
2
−
sin
2
(
ω
t
)
]
{\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=-r\omega \sin {(\omega t)}\left[1+{\frac {\cos {(\omega t)}}{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}{(\omega t)}}}}\right]}
Na grande maioria dos casos
r
≤
l
3
{\displaystyle r\leq {\frac {l}{3}}}
[ 1] , fazendo com que
r
2
sin
2
(
ω
t
)
{\displaystyle r^{2}\sin ^{2}{(\omega t)}}
seja muito pequeno, podendo ser ignorado:
v
=
−
r
ω
sin
(
ω
t
)
−
r
2
ω
sin
(
2
ω
t
)
2
l
{\displaystyle v=-r\omega \sin {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega \sin {(2\omega t)}}{2l}}}
A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:
a
=
d
v
d
t
=
−
r
ω
2
{
cos
(
ω
t
)
+
cos
(
2
ω
t
)
[
(
l
r
)
2
−
s
i
n
2
(
ω
t
)
]
1
/
2
+
sin
2
(
ω
t
)
c
o
s
2
(
ω
t
)
[
(
l
r
)
2
−
s
i
n
2
(
ω
t
)
]
3
/
2
}
{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\left\{\cos(\omega t)+{\frac {\cos(2\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{1/2}}}+{\frac {\sin ^{2}(\omega t)cos^{2}(\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{3/2}}}\right\}}
Para
r
≤
l
3
{\displaystyle r\leq {\frac {l}{3}}}
, (e considerando
l
>>
r
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle l>>r\sin {(\omega t)}}
), a derivada fica:
a
=
d
v
d
t
=
−
r
ω
2
cos
(
ω
t
)
−
r
2
ω
2
cos
(
2
ω
t
)
l
{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\cos {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\omega t)}}{l}}}
Em termos do ângulo da manivela temos:
a
=
−
r
ω
2
cos
θ
−
r
2
ω
2
cos
(
2
θ
)
l
{\displaystyle a=-r\omega ^{2}\cos {\theta }-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\theta )}}{l}}}
Rearranjando:
a
=
−
r
ω
2
[
cos
θ
+
r
l
cos
(
2
θ
)
]
{\displaystyle a=-r\omega ^{2}\left[\cos {\theta }+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]}
As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários , que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações .
Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:
F
=
m
r
ω
2
[
cos
(
θ
)
+
r
l
cos
(
2
θ
)
]
{\displaystyle F=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta )}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]}
F
=
F
p
+
F
s
{\displaystyle F=F_{p}+F_{s}}
onde
F
p
=
m
r
ω
2
cos
(
θ
)
{\displaystyle F_{p}=mr\omega ^{2}\cos {(\theta )}}
é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e
F
s
=
m
r
ω
2
r
l
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle F_{s}=mr\omega ^{2}{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}}
é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.
Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo
ϕ
{\displaystyle \phi }
entre as explosões é igual a:
ϕ
=
360
n
{\displaystyle \phi ={\frac {360}{n}}}
em motores de 2 tempos e
ϕ
=
720
n
{\displaystyle \phi ={\frac {720}{n}}}
em motores de 4 tempos.
A força de inércia de cada pistão é dada por:
F
1
=
m
r
ω
2
[
cos
(
θ
+
ϕ
1
)
+
r
l
cos
2
(
θ
+
ϕ
1
)
]
{\displaystyle F_{1}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{1})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{1})}\right]}
F
2
=
m
r
ω
2
[
cos
(
θ
+
ϕ
2
)
+
r
l
cos
2
(
θ
+
ϕ
2
)
]
{\displaystyle F_{2}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{2})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{2})}\right]}
e assim por adiante.
F
i
=
m
r
ω
2
[
cos
(
θ
+
ϕ
i
)
+
r
l
cos
2
(
θ
+
ϕ
i
)
]
{\displaystyle F_{i}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]}
A soma total das forças de inércia é então igual a:
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
m
r
ω
2
∑
i
=
1
n
[
cos
(
θ
+
ϕ
i
)
+
r
l
cos
2
(
θ
+
ϕ
i
)
]
{\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}F_{i}=mr\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]}
mas
cos
(
θ
+
ϕ
i
)
=
cos
θ
⋅
cos
ϕ
i
−
sin
θ
⋅
sin
ϕ
i
{\displaystyle \cos(\theta +\phi _{i})=\cos {\theta }\cdot \cos {\phi _{i}}-\sin {\theta }\cdot \sin {\phi _{i}}}
Substituindo temos:
F
=
m
ω
2
r
[
cos
θ
∑
i
=
1
n
cos
ϕ
i
−
sin
θ
∑
i
=
1
n
sin
ϕ
i
+
r
l
cos
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
cos
(
2
ϕ
i
)
−
r
l
sin
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
sen
(
2
ϕ
i
)
]
{\displaystyle {F=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\cos {(2\phi _{i})}-{\frac {r}{l}}\sin {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {sen} {(2\phi _{i})}\right]}}
Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem
∑
i
=
1
n
cos
ϕ
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}=0}
∑
i
=
1
n
sin
ϕ
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}=0}
Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem
∑
i
=
1
n
cos
(
2
ϕ
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})=0}
∑
i
=
1
n
sin
(
2
ϕ
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})=0}
O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:
B
1
=
F
1
⋅
d
1
{\displaystyle B_{1}=F_{1}\cdot d_{1}}
B
2
=
F
2
⋅
d
2
{\displaystyle B_{2}=F_{2}\cdot d_{2}}
B
3
=
F
3
⋅
d
3
{\displaystyle B_{3}=F_{3}\cdot d_{3}}
e assim por diante...
B
i
=
F
i
⋅
d
i
{\displaystyle B_{i}=F_{i}\cdot d_{i}}
Se fizermos B igual a soma dos binários temos:
B
=
∑
i
=
1
n
F
i
d
i
{\displaystyle B=\sum _{i=1}^{n}F_{i}d_{i}}
B
=
m
ω
2
r
[
cos
θ
∑
i
=
1
n
d
i
cos
ϕ
i
−
sin
θ
∑
i
=
1
n
d
i
sin
ϕ
i
+
r
l
cos
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
d
i
cos
(
2
ϕ
i
)
−
r
l
sin
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
d
i
sin
(
2
ϕ
i
)
]
{\displaystyle {\color {black}B=m\omega ^{2}r\color {red}\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}+\color {blue}{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})\right]}}
com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.
As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como:
Binários de primeira ordem
∑
i
=
1
n
d
i
cos
ϕ
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}=0}
∑
i
=
1
n
d
i
sin
ϕ
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}=0}
Binários de segunda ordem
∑
i
=
1
n
d
i
cos
(
2
ϕ
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})=0}
∑
i
=
1
n
d
i
sin
(
2
ϕ
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})=0}
Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:
F
=
0
∧
M
=
0
⇒
{\displaystyle F=0\land M=0\Rightarrow }
Completamente equilibrado
F
≠
0
∧
M
=
0
⇒
{\displaystyle F\neq 0\land M=0\Rightarrow }
Desequilíbrio causado por força de inércia
F
=
0
∧
M
≠
0
⇒
{\displaystyle F=0\land M\neq 0\Rightarrow }
Desequilíbrio causado por binário
F
≠
0
∧
M
≠
0
⇒
{\displaystyle F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow }
Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia
L
{\displaystyle L}
do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por
L
=
B
F
{\displaystyle L={\frac {B}{F}}}
ϕ
=
720
3
=
240
0
{\displaystyle \phi ={\frac {720}{3}}=240^{0}}
Ordem de ignição: 1,3,2
Tabela de equilibrio
Φ Inércia 1a ordem cosΦ Inércia 1a ordem senΦ 2Φ Inércia 2a ordem cos2Φ Inércia 2a ordem sen2Φ d Binário 1a ordem dcosΦ Binário 1a ordem dsenΦ Binário 2a ordem dcos2Φ Binário 2a ordem dsen2Φ
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
240
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
3
2
{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
480
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
2d
−
d
{\displaystyle -d}
−
d
3
{\displaystyle -d{\sqrt {3}}}
−
d
{\displaystyle -d}
d
3
{\displaystyle d{\sqrt {3}}}
120
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
240
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
3
2
{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
d
−
d
2
{\displaystyle -{\frac {d}{2}}}
d
3
2
{\displaystyle d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
−
d
2
{\displaystyle -{\frac {d}{2}}}
−
d
3
2
{\displaystyle -d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
∑
{\displaystyle \sum }
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
−
3
2
d
{\displaystyle -{\frac {3}{2}}d}
−
d
3
2
{\displaystyle -d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
−
3
2
d
{\displaystyle -{\frac {3}{2}}d}
d
3
2
{\displaystyle d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Força de inércia de primeira ordem: equilibrado
Força de inércia de segunda ordem: equilibrado
Binário de primeira ordem: desequilibrado
Binário de segunda ordem: desequilibrado
B
p
=
m
ω
2
r
[
cos
θ
∑
i
=
1
n
d
i
cos
ϕ
i
−
sin
θ
∑
i
=
1
n
d
i
sin
ϕ
i
]
{\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}\right]}
B
p
=
m
ω
2
r
[
−
3
d
2
cos
θ
+
d
3
2
sin
θ
]
{\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos \theta +{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin \theta \right]}
B
p
=
m
ω
2
r
d
2
[
−
3
cos
θ
+
3
sin
θ
]
{\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta \right]}
Sendo
a
c
o
s
α
+
b
s
e
n
α
=
a
2
+
b
2
s
e
n
(
α
+
ϕ
)
{\displaystyle acos\alpha +bsen\alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}sen(\alpha +\phi )}
a
cos
α
−
b
sin
α
=
−
a
2
+
b
2
sin
(
α
−
ϕ
)
{\displaystyle a\cos \alpha -b\sin \alpha =-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\alpha -\phi )}
tan
ϕ
=
a
b
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {a}{b}}}
Temos
−
3
cos
θ
+
3
sin
θ
=
9
+
3
sin
(
α
+
ϕ
)
=
4
⋅
3
sin
(
α
+
ϕ
)
=
2
3
sin
(
α
+
ϕ
)
{\displaystyle -3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ={\sqrt {9+3}}\sin(\alpha +\phi )={\sqrt {4\cdot 3}}\sin(\alpha +\phi )=2{\sqrt {3}}\sin(\alpha +\phi )}
tan
ϕ
=
−
3
3
=
−
3
3
3
=
−
3
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {-3}{\sqrt {3}}}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{3}}=-{\sqrt {3}}}
Portanto
ϕ
=
−
60
{\displaystyle \phi =-60}
e o binário de primeira ordem é igual a:
B
p
=
3
m
ω
2
r
d
sin
(
θ
−
60
)
{\displaystyle B_{p}={\sqrt {3}}m\omega ^{2}rd\sin(\theta -60)}
O valor máximo do binário ocorrerá quando
sin
(
θ
−
60
)
=
1
{\displaystyle \sin(\theta -60)=1}
,ou seja, quando
θ
=
150
{\displaystyle \theta =150}
graus.
B
s
=
m
ω
2
r
[
r
l
cos
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
d
i
cos
(
2
ϕ
i
)
−
r
l
sin
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
d
i
sin
2
ϕ
i
]
{\displaystyle B_{s}=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin 2\phi _{i}\right]}
B
s
=
r
l
m
ω
2
r
[
−
3
d
2
cos
(
2
θ
)
−
d
3
2
sin
2
θ
]
{\displaystyle B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos(2\theta )-{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin 2\theta \right]}
B
s
=
r
l
m
ω
2
r
d
2
[
−
3
cos
(
2
θ
)
−
3
sin
2
θ
]
{\displaystyle B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos(2\theta )-{\sqrt {3}}\sin 2\theta \right]}
B
s
=
−
3
r
l
m
ω
2
r
d
sin
(
2
θ
+
60
)
{\displaystyle B_{s}=-{\sqrt {3}}{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}rd\sin(2\theta +60)}
ϕ
=
720
4
=
180
0
{\displaystyle \phi ={\frac {720}{4}}=180^{0}}
Ordem de ignição: 1,3,4,2
Tabela de equilibrio
Φ Inércia 1a ordem cosΦ Inércia 1a ordem senΦ 2Φ Inércia 2a ordem cos2Φ Inércia 2a ordem sen2Φ d Binário 1a ordem dcosΦ Binário 1a ordem dsenΦ Binário 2a ordem dcos2Φ Binário 2a ordem dsen2Φ
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
180
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
360
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
2d
−
2
d
{\displaystyle -2d}
0
{\displaystyle 0}
2
d
{\displaystyle 2d}
0
{\displaystyle 0}
0 1 0 0 1 0 3d 3d 0 3d 0
180
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
360
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
d
−
d
{\displaystyle -d}
0
{\displaystyle 0}
d
{\displaystyle d}
0
{\displaystyle 0}
∑
{\displaystyle \sum }
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
4
{\displaystyle 4}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
6
d
{\displaystyle 6d}
0
{\displaystyle 0}
F
=
m
ω
2
r
[
r
l
cos
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
cos
(
2
ϕ
i
)
−
r
l
sin
(
2
θ
)
∑
i
=
1
n
sin
(
2
ϕ
i
)
]
{\displaystyle F=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})\right]}
Substituindo temos:
F
=
m
ω
2
r
[
4
r
l
cos
(
2
θ
)
]
{\displaystyle F=m\omega ^{2}r\left[4{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\right]}
F
=
4
r
l
m
ω
2
r
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle F=4{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\cos(2\theta )}
Como
F
≠
0
∧
M
≠
0
⇒
{\displaystyle F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow }
Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia
L
{\displaystyle L}
do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por
L
=
6
d
4
=
1
,
5
d
{\displaystyle L={\frac {6d}{4}}=1,5d}
Referências
↑ Taylor, Charles Fayette (1985). The Internal Combustion Engine in Theory and Practice Vol. 2: Combustion, Fuels, Materials, Design, p. 299. The MIT Press, Massachusetts. ISBN 0262700271 .