Sari la conținut

Distribuția Gauss

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.[1]

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ2), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

Bibliografie.[2][3][4][5]

Densitatea de repartiție

[modificare | modificare sursă]

= = =

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

[modificare | modificare sursă]

===

Entropia informațională

[modificare | modificare sursă]

= =

Funcția de repartiție cumulativă

[modificare | modificare sursă]

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

==

Pentru repartiția N~(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

=

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ2), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

=

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

[modificare | modificare sursă]

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

  • M(X − μ) = M(X)− μ
  • D(X − μ) = D(X)
  • D(X/σ)=(1/σ2) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ2), atunci variabila aleatoare redusă

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μkk2)

[modificare | modificare sursă]

Dacă Xk:N(μkk2), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X1+X2+...+Xn are repartiția:[6]

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ2)

[modificare | modificare sursă]

Dacă Xk:N(μ,σ2), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X1+X2+...+Xn)/n are repartiția:

Teorema limită centrală (Laplace)

[modificare | modificare sursă]

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă Xk - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie și dispersia , atunci limita mediei lor aritmetice (X1+X2+...+Xn)/n atunci cand are proprietatea:

Rezultă că se aproximează cu pentru

Regula celor 3σ

[modificare | modificare sursă]

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, , valoare care în unele situații poate fi neglijată.

  1. ^ Kirkwood, Betty R; Sterne, Jonathan AC (). Essential Medical Statistics. Blackwell Science Ltd. 
  2. ^ Viorel Petrehuș, Sever-Angel Popescu, Probabilități și statistică, Arhivat în , la Wayback Machine., Universitatea Tehnică de Construcții din București, 2005
  3. ^ „copie arhivă” (PDF). Arhivat din original la . Accesat în . 
  4. ^ Ștefan Balint, Éva Kaslik, Simina Ștefania Mariș, Probabilități (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, Arhivat în , la Wayback Machine.
  5. ^ Ariadna Lucia Pletea,Liliana Popa, [math.etti.tuiasi.ro/lpopa/cursTP.pdf/ Teoria probabilităților] (curs, 1999), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
  6. ^ H. Poincaré-Calcul des probabilités, Gauthiers-Villars,Paris,1912/

Legături externe

[modificare | modificare sursă]