Sari la conținut

Pavare pătrată

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Pavare pătrată
Descriere
Tippavare uniformă
Configurația vârfului4.4.4.4 (sau 44)
Configurația fețeiV4.4.4.4 (sau V44)
Simbol Wythoff4 | 2 4
Simbol Schläfli{4,4}
{∞}×{∞}
Diagramă Coxeter




Grup de simetriep4m, [4,4], (*442)
Grup de rotațiep4, [4,4]+, (442)
Poliedru dualautoduală
Proprietățitranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului
Pavarea (auto)duală

În geometrie pavarea pătrată, teselarea pătrată sau grila pătrată este o pavare regulată a planului euclidian. Are simbolul Schläfli {4,4}, ceea ce înseamnă că are 4 pătrate în jurul fiecărui vârf.

Unghiul intern al pătratului este de 90°, astfel încât patru pătrate în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.

Colorarea uniformă

[modificare | modificare sursă]

Există 9 colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate. Enumerarea culorilor prin indici pe cele 4 pătrate din jurul unui vârf este: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Cazurile (i) au simetrie de reflexie simplă, iar cele (ii) simetrie de reflexie translată. Trei pot fi văzute în același domeniu de simetrie drept colorări reduse: 1112i din 1213, 1123i din 1234 și 1112ii redus de la 1123ii.

Poliedre și pavări înrudite

[modificare | modificare sursă]

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări regulate, extinzându-se în planul hiperbolic: {4,p}, p=3,4,5...

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {4,n}
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.

{4,3}

{4,4}

{4,5}

{4,6}

{4,7}

{4,8}...

{4,∞}

Această pavare este, de asemenea, legată din punct de vedere topologic, ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, începând cu octaedrul, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n progresând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice Euclidiană Pavări hiperbolice
24 34 44 54 64 74 84 ...4
Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)2
Simetrie
*4n2
[n,4]
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracompactă Necompactă
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
 
[iπ/λ,4]
Pavare
 
Conf.

V4.3.4.3

V4.4.4.4

V4.5.4.5

V4.6.4.6

V4.7.4.7

V4.8.4.8

V4.∞.4.∞
V4.∞.4.∞
Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]
*∞42
[∞,4]
Figuri
expandate
Config. 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 ∞.4.4.4
Figuri
rombice
config.

V3.4.4.4

V4.4.4.4

V5.4.4.4

V6.4.4.4

V7.4.4.4

V8.4.4.4

V∞.4.4.4

Construcții Wythoff la pavarea pătrata

[modificare | modificare sursă]

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea pătrată regulată.

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme distincte din punct de vedere topologic: pavare pătrată, pavare pătrată trunchiată și pavare pătrată snub.

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442) [4,4]+, (442) [4,4+], (4*2)
{4,4} t{4,4} r{4,4} t{4,4} {4,4} rr{4,4} tr{4,4} sr{4,4} s{4,4}
Duale uniforme
V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.4.4.4 V4.8.8 V3.3.4.3.4

Pavări topologic echivalente

[modificare | modificare sursă]

Pavările izoedrice au fețe identice (sunt tranzitive pe fețe) și pe vârfuri, există 18 variante, cu 6 identificate prin triunghiuri care nu se conectează „latură la latură”, sau ca patrulatere cu două laturi coliniare. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.[1]

Pot fi realizate și alte pavări cu patrulatere, care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pătratele (4 patrulatere în jurul fiecărui vârf).

O variantă izogonală cu două tipuri de fețe, văzute ca o pavare pătrată snub cu perechi de triunghiuri combinate în romburi Pavările pătrate topologice pot fi realizate cu fețe concave și cu mai mult de o latură în comun la două fețe; această variantă are 3 laturi comune O variantă 2-izoedrică cu fețe rombice
Pavări patrulatere izoedrice
Pătrat
p4m, (*442)
Patrulater
p4g, (4*2)
Dreptunghi
pmm, (*2222)
Paralelogram
p2, (2222)
Paralelogram
pmg, (22*)
Romb
cmm, (2*22)
Romb
pmg, (22*)
Trapez
cmm, (2*22)
Patrulater
pgg, (22×)
Romboid
pmg, (22*)
Patrulater
pgg, (22×)
Patrulater
p2, (2222)
Patrulatere degenerate sau triunghiuri care nu sunt aliniate latură la latură
Isoscele
pmg, (22*)
Isoscele
pgg, (22×)
Scalene
pgg, (22×)
Scalene
p2, (2222)
  1. ^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)
  • en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”. 
  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 36. ISBN 0-486-23729-X. 
  • en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (). Tilings and PatternsNecesită înregistrare gratuită. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  • en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

[modificare | modificare sursă]
 v  d  m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu Familia / /
E2 Pavare uniformă {3[3]} δ3 3 3 Hexagonală
E3 Fagure convex uniform {3[4]} δ4 4 4
E4 4-fagure uniform {3[5]} δ5 5 5 Fagure 24-celule
E5 5-fagure uniform {3[6]} δ6 6 6
E6 6-fagure uniform {3[7]} δ7 7 7 222
E7 7-fagure uniform {3[8]} δ8 8 8 133331
E8 8-fagure uniform {3[9]} δ9 9 9 152251521
En-1 (n−1)-fagure uniform {3[n]} δn n n 1k22k1k21