Гексамино

Гексамино - полимино 6-го порядка, т.е. плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.

35 фигур гексамино

Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных ("свободных") форм гексамино насчитывается 35 (см.рисунок). Существует 60 видов "односторонних" гексамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 216 видов "фиксированных" гексамино (различными считаются также и повороты).

Классификация гексамино по симметрии

35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на 5 категорий:

• 20 фигур гексамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
• 6 гексамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
• 2 гексамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
• 5 гексамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
• 2 гексамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки.

Для односторонних гексамино (т.е. если зеркальные отражения фигур считать различными), первая и четвёртая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 25 гексамино, т.е. в общей сложности 60. Для фиксированных гексамино (т.е. если повороты также рассматривать как различные фигуры), то первая категория возрастёт в восемь раз по сравнению со свободнми гексамино, следующие три категории — в четыре раза, а из последней категории — в два. Это даст $20\times 8+(6+2+5)\times 4+2\times 2=216$ фиксированных гексамино.

Составление фигур из гексамино

Хотя полный набор из 35 гексамино имеет в общую площадь 210 квадратов, из них невозможно составит какой-либо прямоугольник с такой площадью (в отличие от 12 пентамино, из которых можно сложить любой из прямоугольников 3 х 20, 4 × 15, 5 × 12 и 6 × 10.) Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. Тогда 11 фигур гексамино будут иметь чётное количество квадратов обоих цветов (2 белых и 4 чёрных или наоборот), а остальные 24 гексамино — нечётное (3 белых и 3 чёрных). Таким образом, в любой фигуре, составленной из полного набора гексамино, число квадратов каждого цвета будет чётным. Но любой прямоугольник из 210 квадратов будет иметь 105 чёрных квадратов и 105 белых, т.е. нечётное число.

Тем не менее, есть другие симметричные фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из гексамино. Например, квадрат 15 × 15 с прямоугольным отверстием 3 × 5 имеет 106 белых и 104 чёрных квадратов (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино.

Развёртки куба

11 из 35 фигур гексамино являются развёртками куба (см. рисунок). Сложить из них прямоугольник площадью в 66 единичных квадратов невозможно.