Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), его степень равняется нулю, за исключением случая нулевого одночлена, степень которого не определена (часть источников приписывает нулевому одночлену степень $-\infty$).

Примеры:

$-7$

$x^{2}$

$c^{3}xy$

$-a$

$5ax^{3}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене $x^{2}$), подразумевается коэффициент $1$ или $-1$, в зависимости от знака перед одночленом.

Не являются одночленами выражения: $a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.$

История

Первым ввёл понятие одночленов $x,x^{2},x^{3},...$ и $1/x,1/x^{2},1/x^{3},...$, а также дал правила их произведения, аббасидский математик аль-Караджи (953—1029). Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Его последователь Самуил Марокканский (1130—1180) ввёл определения $x^{0}=1$ и $x^{-n}=1/x^{n}$, а также описал их арифметику, включая правило умножения одночленов $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ для целых $n$ и $m$.

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных.

Пример: $3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов.

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам.

См. также

• Многочлен

Литература

• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 138—139. — 564 с.

Ссылки

• Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.