Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler; a sıfırdan farklı, b ise herhangi bir gerçel veya karmaşık sayı olmak üzere,

$ax+b=0$

formunda polinom ifadeleridir. Bu eşitlikteki x değişken, a başkatsayı ve b sabittir.

Denklemin Çözüm Kümesi

Denklemi oluşturan bilinmeyen değerlerine "denklemin kökü", köklerin oluşturduğu kümeye ise "denklemin çözüm kümesi" denir. Bir polinom denkleminin, Cebirin Temel Teoremi nedeniyle derecesi kadar kökü vardır. Bu nedenle

$ax+b=0$

denkleminin gerçel ya da karmaşık en fazla bir tane kökü vardır. Denklem çözülürken şu sıralamayla çözülür:

1. Bir eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.
2. Bir eşitliğin iki tarafı aynı sayıyla çarpılabilir veya iki tarafı sıfırdan farklı bir sayıya bölünebilir.
3. Eşitliğin diğer tarafına geçen terim işaret değiştirir.
4. Bilinenler eşitliğin bir tarafına, bilinmeyenler bir tarafına toplanır.

Buna göre;

$ax+b=0$ $\Longrightarrow$ $ax=-b$ $\Longrightarrow$ $x={\frac {-b}{a}}$

Ayrıca bu denklem karmaşık katsayılı olsa bile x gerçel sayı olabilir. $i={\sqrt {-1}}$ olmak üzere örneğin:

$2ix+3i=0$ $\Longrightarrow$$2ix=-3i$ $\Longrightarrow$ $x={\frac {-3i}{2i}}={\frac {-3}{2}}$

Örnek Çözümler

• "2x + 5 = -3" denkleminin çözüm kümesini bulalım:

1. 2x + 5 = -3
2. 2x = -3 -5
3. 2x = -8
4. (2x/2) = (-8/2)
5. x = "-4" → Ç={-4} olur.

• 7x + 9 = 2(x + 2) denkleminin çözüm kümesini bulalım;

1. 7x + 9 = 2x + 4
2. 7x - 2x = +4 -9
3. 5x = -5
4. (5x/5) = (-5/5)
5. x = "-1"→ Ç={-1} olur.

• 3x - 7 = 11 denkleminin çözüm kümesini bulalım:

1. 3x - 7 = 11
2. 3x = 11 + 7
3. 3x = 18
4. (3x/3) = (18/3)
5. x = "6" → Ç={6} olur.

Hayatımızda Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin İşlevi

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler hayatımızda oldukça önemli bir yer tutar. Örneğin;

• Dengede olan bir terazinin diğer kefesindeki ağırlığı bulmada kullanılır.
• Kimyada bir reaksiyonu ifade ederken kullanılır.
• Yön bulma konusunda kullanılır.
• Coğrafi keşiflere yardımcı olduğu bilinmektedir.
• Finansal Planlama: Kişisel veya kurumsal finansal planlama sürecinde denklemler kullanılır. Gelir, gider, yatırım getirisi, borç ödemeleri gibi faktörleri içeren denklemler, bütçeleme, tasarruf yapma, yatırım kararları gibi finansal konuların analizinde yardımcı olur.
• Mühendislik ve Fizik: Mühendislik ve fizik alanında denklemler, yapıların tasarımında, elektrik devreleri, akışkanlar mekaniği, termodinamik gibi alanlarda analizlerde kullanılır. Örneğin, hareket denklemleri veya elektrik devrelerindeki Kirchhoff Kanunları gibi denklemler, mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılır.
• İnşaat ve Mimari: İnşaat ve mimari projelerde denklemler, yapıların dayanıklılığı, malzeme hesaplamaları, ısı transferi gibi konularda kullanılır. Yük dağılımı, eğim hesaplamaları, beton oranları gibi denklemler, projelerin doğru bir şekilde planlanmasında ve uygulanmasında önemli bir rol oynar.
• İşletme ve Ekonomi: İşletme ve ekonomi alanında denklemler, talep ve arz dengesi, maliyet hesaplamaları, kar marjları, fiyatlandırma stratejileri gibi konularda kullanılır. Denklemler, işletmelerin finansal performansını analiz etmek, stratejiler geliştirmek ve karar vermek için kullanılır.
• Biyoloji ve Tıp: Biyoloji ve tıp alanında denklemler, genetik, popülasyon dinamikleri, kimyasal reaksiyonlar, ilaç dozajları gibi konularda kullanılır. Biyokimyasal reaksiyon denklemleri, ilaç etkileşimleri veya biyolojik süreçlerin modellenmesinde kullanılan denklemlerden bazılarıdır.
• Bilgisayar Bilimi ve Veri Analizi: Bilgisayar bilimi ve veri analizi alanında denklemler, algoritma tasarımında, veri modellemesinde ve tahmin yapmada kullanılır. Matematiksel modelleme, makine öğrenmesi algoritmaları ve istatistiksel analizler, denklemlerin önemli bir parçasıdır.

vs. birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri hayatımızda bu alanlarda görebiliriz. Öte yandan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler problemleri ile, matematikte de önemli yer tutar. Örneğin;

• "Üç katının 5 fazlası 11 olan sayı kaçtır?" probleminde ilk önce denklem diline çevirmek önemlidir. Çözümü;

1. 3x + 5 = 11
2. 3x = 11 - 5
3. 3x = 6
4. x = 2
5. x ∈ {2} olur.

Günlük hayattan bir örnek problem de verebiliriz;

• "Bir sınıftaki öğrenciler ikişer oturunca 10 öğrenci ayakta kalıyor. Üçer olarak oturunca 3 sıra boş kalıyor. Buna göre sınıf mevcudu kaçtır?" probleminin çözümü;

1. 2x + 10 = 3(x-3)
2. 2x + 10 = 3x - 9
3. 2x - 3x = -10 -9
4. -x = -19
5. x = 19
6. x ∈ {19} olmuş olur.

19.2=38 38+10=48 olacaktır.