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四平方和定理

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四平方和定理 (英语:Lagrange's four-square theorem) 说明每个正整数均可表示为4个整数平方和。它是费马多边形数定理华林问题的特例。

历史

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根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数能表示为4个整数的平方和,则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

  • 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意素数 p,同余方程

必有一组整数解x,y满足(引理一)

至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

证明

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根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理,可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。

,因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。

根据引理一,奇质数必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中,必存在一个最小的。设该数为。又从引理一可知

证明不会是偶数

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是偶数,且。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设的奇偶性相同,的奇偶性相同,均为偶数,可得出公式:

,与是最小的正整数使得的假设可以表示成四个整数的平方和不符。

证明

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现在用反证法证明。设

  • 不可整除的最大公因数,否则可整除,则得的因数,但且p为质数,矛盾。

故存在不全为零、绝对值小于(注意是奇数在此的重要性)整数的使得

可得 ,其中是正整数且小于

  • 下面证明可以表示成四个整数的平方和,从而推翻假设。

,根据四平方和恒等式可知的倍数,令

矛盾。

引理一的证明

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的剩馀两个一组的分开,可得出组,分别为。 将模二次剩馀个,分别为

是模的二次剩馀,选取使得,则,定理得证。

不属于模的二次剩馀,则剩下组,分别为,而模的二次剩馀仍有个,由于 ,根据抽屉原理,存在