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sulle serie a termini positivi |
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Consideriamo il primo caso. La serie essendo divergente,
tale sarà pure (num. 6) la serie
e per questa si avrà
dunque, pel teorema di Kummer, l’espressione
non potrà avere un limite positivo.
Ma d’altronde si ha
ovvero
dunque, poichè è positivo ed ha per limite zero, avrà lo stesso limite di , e quindi non potrà essere positivo1.
Supponiamo ora . In questo caso se si avesse
- ↑ Questo del resto risulta subito anche da ciò che abbiam detto nel numero 1.
Infatti se
ha un limite finito
, indicando con
una quantità che ha per limite zero si avrà
e quindi
e poichè tende a zero, qualunque sia il suo segno e la sua espressione, si vede subito di qui che non può avere un limite positivo, perchè altrimenti sarebbe convergente (numero 1).