Przejdź do zawartości

Układ współrzędnych biegunowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt zwany biegunem oraz półprostą o początku w punkcie zwaną osią biegunową.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu to jego odległość od bieguna,
  • amplituda punktu to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą a wektorem

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna są równe O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).

Rys historyczny

[edytuj | edytuj kod]

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku.

Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda)[4] pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.

Związek z układem kartezjańskim

[edytuj | edytuj kod]
Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański oraz układ biegunowy z biegunem i osią biegunową

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

[edytuj | edytuj kod]

Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:

Jakobian przejścia wynosi

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

[edytuj | edytuj kod]

Dla punktu o współrzędnych kartezjańskich promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa[6][7]:

Jeśli i to z definicji funkcji tangens:

[7],

zatem amplituda tego punktu jest dana wzorem[8]:

(o ile dopuszczamy ujemne wartości ).

Natomiast aby otrzymać należy rozważyć następujące przypadki:

gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów można ten zapis uprościć do

gdzie oznacza funkcję signum.

Równania biegunowe krzywych algebraicznych

[edytuj | edytuj kod]

Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską, której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem

zmiennych Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci

Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.

Okrąg o równaniu

Okrąg

[edytuj | edytuj kod]

Okrąg o środku w punkcie i promieniu jest opisany przez równanie

Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać

Róża

[edytuj | edytuj kod]
Róża o równaniu

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

gdzie jest dowolną stałą, jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.

Jeśli jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków, a jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków. Dla innych wartości kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

[edytuj | edytuj kod]
Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu dla

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

Parametry w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana spowoduje obrócenie krzywej, a wartość wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

[edytuj | edytuj kod]

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

gdzie to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie zadana jest przez równanie

Krzywe stożkowe

[edytuj | edytuj kod]
Elipsa z zaznaczonym parametrem („semilatus rectum” – zielony kolor)

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej ):

gdzie:

  • – współrzędne biegunowe punktu krzywej,
  • mimośród, decydujący o typie krzywej (okrąg, elipsa, parabola, hiperbola),
  • – parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

[edytuj | edytuj kod]
Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b.

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji i promieniami oraz (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe

tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji ograniczonej kątami oraz

Dowód:

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).

Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie (por. rysunek). Niech oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie – liczba podziału przedziału kątowego na równe części; niech będzie kątem środkowym -tego wycinka, każdy z wycinków ma odpowiednio promień kąt środkowy i długość łuku Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:

Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:

Zwiększając liczbę podziałów pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy i polepsza się przybliżenie. Dla mamy – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna:

cnd.

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

[edytuj | edytuj kod]

Długość łuku (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty

gdzie oraz oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; pochodna zmiennej po

Dowód:

(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: i są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia wynosi drugiego dla argumentu długość podstawy jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu umieszczamy punkt który dzieli to ramię w ten sposób, że zaś W ten sposób podzieliliśmy trójkąt na 2 mniejsze: równoramienny (o podstawie ) i Kąt oznaczmy jako zaś kąt – jako Kąty i znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa

Ponieważ więc:

Kąty i są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa

Ponieważ więc:

Skoro kąt znajduje się w trójkącie to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki i to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

Długość podstawy można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

Stąd:

Ponieważ to:

gdzie staje się pochodną po dla Różniczka łuku wykresu funkcji w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:

(2) Długość łuku wykresu funkcji wyraża się zatem wzorem:

cnd.

Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej

[edytuj | edytuj kod]
Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej
Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej

Każda liczba zespolona może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej, z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:

(1) w układzie współrzędnych kartezjańskich

gdzie: jednostka urojona, – współrzędne kartezjańskie punktu

(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)

gdzie: – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej

gdzie to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.

a) mnożenie

b) dzielenie

c) potęgowanie

d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Inne układy współrzędnych:

Szczególne układy współrzędnych:

Inne:

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. PWN, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635).
  3. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671).
  4. Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
  5. Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  6. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
  7. a b Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  8. Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.