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Equação de Riccati

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A equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

onde , e são três funções que dependem de .[1]

Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo , a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear

Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que é solução particular

Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição

É conveniente não substituir pela função dada, já que o fato desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos[1]

Como é solução, o termo nos parênteses no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para

O fator integrante desta equação linear é

Multiplicando os dois lados da equação linear por e seguindo os passos explicados na seção sobre equações lineares

A solução geral está constituída por esta última família de funções, junto com a solução particular

Referências

  1. a b Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013